Oppgåve med stor-O - notasjon

[mirdyr]

Lurer på oppg. 3b på dette oppgåvesettet i MAT111 frå UiB.

http://org.uib.no/mi/eksamen/MAT111/MAT ... ksamen.pdf

[Aleks855]

Og hva er det du lurer på? Det står jo en løsning der, så du må vel ha et litt mer spesifikt spørsmål?

[mirdyr]

Problemet er at eg ikkje forstår løysingsforslaget, så lurte på om nokon kunne forklart oppgåva på ein annan måte.

[Flaw]

Av definisjonen har du at [tex]f(x)=O(g(x))[/tex] når [tex]x\to\infty[/tex] IFF [tex]|f(x)|\leq M|g(x)|[/tex] for alle [tex]x\geq x_{0}[/tex]

Fra deloppgave a har dere vist at for en eller annen verdi [tex]x[/tex] blir [tex]\sqrt{x}>\ln{(x^2)}[/tex], ellers ville grensen gått mot [tex]0[/tex].

Tenk nå på [tex]\sqrt{x}[/tex] som [tex]f(x)[/tex] og [tex]\ln{(x^2)}[/tex] som [tex]g(x)[/tex] - eller, dvs. manipulér på disse to for å oppnå [tex]f(x)[/tex] og g[tex](x)[/tex] som må være [tex]e^{-\sqrt{x}}[/tex] og [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] respektivt.

Det eneste du må gjøre er å manipulere uttrykkene for å stå igjen med det oppgaven spør om, og se om det holder sant.

Dersom vi først eksponerer begge sider med [tex]e[/tex], så tar reciprocal (norsk?) på begge sider, står vi igjen med:

[tex]\sqrt{x}>\ln{(x^2)}\;\Rightarrow\;e^\sqrt{x}>x^2\;\Rightarrow\;\frac{1}{\sqrt{e^x}}<\frac{1}{x^2}\;\Rightarrow\;e^{-\sqrt{x}}<\frac{1}{x^2}[/tex]

Vi har nå vist at det vi skulle vise.

[Gjest]

reciprocal (norsk?)

resiprok, men jeg tror det er lettere å bare si invers eller som wikipedia vil ha det "multiplikativ invers".

[mirdyr]

Takk for godt svar. Eg lurer på om det er meininga at det skal stå e^-x og ikkje e^-sqrt(x) i tredje og nest-siste linje? I så fall, kvifor?

[Flaw]

Hei, beklager. Det var kun små skrivefeil. Jeg har rettet innlegget, og håper det er klart nå

[mirdyr]

Takk, det er det!