Komplekse tall

[posco]

Hei, sliter litt med komplekse tall. Har to oppgaver som jeg ikke klarer å vri hodet mitt til å løse. Noen som kan hjelpe meg på veien her? (søkte litt, men fant ingen relevante lignende oppgaver)
Oppgave 1:
Finn alle komplekse tall z som passer i likningen. Skriv løsningen på formen a + bi
z^2=1-isqrt(3)

Her har jeg prøvd å ta roten av uttrykket, men er usikker på hva det gir meg videre. Vet ikke hvordan jeg skal regne det ut.

Oppgave 2:
Finn alle komplekse løsninger av likningen:
z^2 + (4+4i)z + 4i =0

Her blir jeg usikker når man har både i og z. Har prøvd å sette inn (a+ib) for z, men har ikke kommet noen vei med det.

Takk på forhånd:)

[madfro]

Hei,

Et par hint:

Oppgave 1:
Her må du finne kvadratroten av høyre siden for å bestemme z.
For å gjøre det enklest mulig skriver du først om utrykket til polarform.
Da skal du finne at

[tex]z^2 = 2e^{\frac{5\pi}{3}}[/tex]

Videre tar du kvadratroten på begge sider, så må du bare transformere tilbake igjen for å få utrykket på rett form(z = a + ib).

Oppgave 2:
Her bruker du ABC formelen og løser annengradsutrykket for z.

[posco]

Takk, det skal prøves:)
Men hvordan bruker man ABC-formelen når man har 4z, 4iz og 4i?

[madfro]

Når du bruker ABC-formelen, så trenger du ikke å løse opp parantesen.
Du setter inn i formelen med a = 1, b = (4 + 4i) og c = 4i.

[posco]

Den første oppgave løste seg, takk for god veiledning:)
På den andre nå, så sitter jeg med (-(4+4i)+-sqrt(16i))/2.
Prøvde å gjøre om -4-4i og sqrt(16i) til polarform, men kom ikke noe lengre med det. Man kan vel ikke ta roten av 16i heller. Tips?

[Drezky]

Ta forebehold; har ikke x-matte.

[tex]z^2+4z+i(4z+4)=0[/tex]
[tex]z^2+z(4+4i)=-4i[/tex]
[tex]z^2+z(4+4i)+8i=4i[/tex]
[tex](z+2+2i)^2=4i[/tex]
[tex]z+2+2i=\sqrt{4i[/tex] : [tex]z=2(-1)^{\frac{1}/{4}}-2-2i[/tex]
Altså [tex]z+2+2i=\sqrt{4i}[/tex]
Finjusterer litt: [tex]z+2+2i=2(-1)^{\frac{1}/{4}}[/tex]
Subtraherer 2 fra begge sider
[tex]z+2+2i-2=2(-1)^{\frac{1}/{4}}-2[/tex]
[tex]z+2i=2(-1)^{\frac{1}/{4}}-2[/tex]
Subtraherer leddet 2i fra begge sider
[tex]z+2i-2i=2(-1)^{\frac{1}/{4}}-2-2i[/tex]
[tex]z=2(-1)^{\frac{1}/{4}}-2-2i[/tex]
Av dette følger: [tex]z=(1+i)*(\sqrt{2)-2)[/tex] :[tex]z=-2((-1)^{\frac{1}/{4}}+1+i)[/tex]
Løser vi dette med kvadratisk metode (full kvadrering) får vi:
[tex]z=(1+i)(\sqrt{2}-2)[/tex] og [tex]z=-2((-1)^{\frac{1}/{4}}1+i)[/tex]

Direkte med abc-formelen som madfro tipset deg: Vi ender opp med [tex]z=\frac{-4-4i+4\sqrt(i)}/{2}[/tex] og [tex]z=\frac{-4-4i-4\sqrt(i)}/{2}[/tex]