Integral

[Borgland]

Hei,

Jeg har integralet [tex]I = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+cos(x)^2}dx[/tex]

Har prøvd u = cos(x), men dette leder ikke frem. Noen som har forslag til substitution eller fremgangsmåte?

[Aleks855]

Står det noe i oppgaven om hvordan du skal gå frem?

Såvidt jeg kan se, så vil det være vanskelig å finne en analytisk løsning på det ubestemte integralet, men siden det er bestemt kan det tilnærmes ved eksempelvis Simpsons metode, rektangel- eller trapesmetoden, eller liknende.

[Nebuchadnezzar]

Dersom du skal integrere en periodisk funksjon over et interval med samme lengde som perioden så vil trappesmetoden gi kvadratisk konvergens. Eg antall korrekte siffer dobbles for hver iterasjon. Wikipedia hadde en måte å se dette intuitivt på

When the function is periodic and one integrates over one full period, there are about as many sections of the graph that are concave up as concave down, so the errors cancel.

Dersom du vil ha et eksakt uttrykk kan du ukktrykke funksjonen ved av det elliptiske integralet. (Elliptic integral of second kind).

[Borgland]

Dersom du vil ha et eksakt uttrykk kan du ukktrykke funksjonen ved av det elliptiske integralet. (Elliptic integral of second kind).

Wolframalpha brukte også "Elliptic Integral of the Second Kind", kjenner ikke til funksjoneen så få vel lese litt.

Oppgaven er laget på egen basis, så fremgangsmåten er ikke definert :p

[Nebuchadnezzar]

Definisjonen av det elliptiske integralet er som følger

$ \hspace{1cm}
E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{ 1 - k^2 \sin^2 x\,} \,\mathrm{d}x
$

Ved å studere grafen til $\sqrt{ 1 + \cos^2x\,} $ så ser vi at

$ \hspace{1cm}
\int_0^{2\pi} \sqrt{ 1 + \cos^2x\,}\,\mathrm{d}x = 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{ 1 + \cos^2x} \,\mathrm{d}x
$

Klarer du nå å skrive integralet som et komplett elliptisk integral? Ps: $1 = \cos^2x + \sin^2x$. Grunnen til at en har konstruert de elliptiske integralene er enkelt og greit fordi de dukker opp ofte i matematikken og at de er veldig raske å beregne numerisk.