Integrasjon og volum

[stimorolextra]

Jeg skjønner hvordan man kan finne volum vha. integrasjon, men jeg har en oppgave jeg absolutt ikke forstår meg på.
"En kunstner skal lage et drikkeglass. Hun vil få frem formen på drikkeglasset ved å dreie grafen til funksjonene f og g 360 grader om x-aksen.
[tex]f(x)=\sqrt{x+1}+1[/tex] der x skal være mellom 0 og 7
[tex]g(x)=\sqrt{x-\frac{1}{2}}+1[/tex] der x skal være mellom 1/2 og 7.
Dette er målt i centimeter."

Jeg skal finne ut hvor mange desiliter glasset kommer til å romme, og hvor mye drikkeglasset vil veie når glass veier 2,5 kg/dm^3.

Jeg blir så forvirret av å ha to funksjoner å forholde meg til. Først tenkte jeg at jeg måtte summere integralene av dem for å finne svarene, men det blir jo ikke riktig. Hvordan skal jeg vite hvilken av funksjonene jeg skal bruke til å finne ut hva?

I løsningsforslaget ser jeg at de har brukt integralet av g(x) til å finne ut hva drikkeglasset kommer til å romme (det er jo volum...) og integralet av f(x) minus integralet av g(x) for å finne ut hva drikkeglasset kommer til å veie. Dette skjønner jeg ingenting av!!!! Hadde blitt SÅ takknemlig om noen kunne forklare dette!

[stimorolextra]

Ingen som vet?

[Dolandyret]

Jeg skjønner hvordan man kan finne volum vha. integrasjon, men jeg har en oppgave jeg absolutt ikke forstår meg på.
"En kunstner skal lage et drikkeglass. Hun vil få frem formen på drikkeglasset ved å dreie grafen til funksjonene f og g 360 grader om x-aksen.
[tex]f(x)=\sqrt{x+1}+1[/tex] der x skal være mellom 0 og 7
[tex]g(x)=\sqrt{x-\frac{1}{2}}+1[/tex] der x skal være mellom 1/2 og 7.
Dette er målt i centimeter."

Jeg skal finne ut hvor mange desiliter glasset kommer til å romme, og hvor mye drikkeglasset vil veie når glass veier 2,5 kg/dm^3.

Jeg blir så forvirret av å ha to funksjoner å forholde meg til. Først tenkte jeg at jeg måtte summere integralene av dem for å finne svarene, men det blir jo ikke riktig. Hvordan skal jeg vite hvilken av funksjonene jeg skal bruke til å finne ut hva?

I løsningsforslaget ser jeg at de har brukt integralet av g(x) til å finne ut hva drikkeglasset kommer til å romme (det er jo volum...) og integralet av f(x) minus integralet av g(x) for å finne ut hva drikkeglasset kommer til å veie. Dette skjønner jeg ingenting av!!!! Hadde blitt SÅ takknemlig om noen kunne forklare dette!

Etter å ha studert grafene litt, tror jeg at jeg vet hvordan oppgaven skal løses. f(x) ligger "høyere" i y-planet enn det g(x) gjør, derfor antar jeg at f(x) skal forestille utsiden av glasset, mens g(x) skal forestille innsiden av glasset. Naturligvis etter de har blitt dreid 360grader om x-aksen.
Volumet som glasset vil kunne inneholde vil du da finne ved å regne volumet av g(x) dreid om x-aksen (som jeg regner med du kan).
Vekten av glasset vil du da finne ved å finne volumet mellom grafene dreid om x-aksen. Da regner du først volumet av f(x) og trekker deretter fra volumet av g(x).

Edit: Var omvendt.

[Kjemikern]

Prøv å tegn funksjonene i geogebra. Det vil gi deg en pekepinne på hvordan funksjonene ser ut.

[Dolandyret]

[tex]f(x):V=\pi\int_{0}^{7}(\sqrt{x+1}+1)^2dx=211,54cm^3[/tex]

Volumet av innsiden av glasset: [tex]g(x):V=\pi\int_{0.5}^{7}(\sqrt{x-0.5}+1)^2dx=156,202cm^3[/tex]
[tex]1dm^3=1L[/tex], derfor må [tex]0,1dm^3=1dl[/tex]. [tex]0,1dm^3=100cm^3[/tex]
Glasset rommer derfor [tex]\approx1,56dl[/tex]

Volumet mellom innsiden og utsiden av glasset:
[tex]211,54cm^3-156,202cm^3=55,338cm^3[/tex]
Dette tilsvarer: [tex]55,338cm^3=0,055338dm^3[/tex]
Vi har fått oppgitt at [tex]1dm^3=2,5kg[/tex] glass.
[tex]2500g*0,055338=138,345g[/tex]

Glasset veier derfor [tex]138,345gram[/tex]

Om du gjør som Kjemikern sa, og setter funksjonene inn i geogebra, så blir dette enklere å visualisere seg.
g(x) blir som innsiden av glasset, siden denne ligger nærmest x-aksen, mens f(x) blir som utsiden av glasset, siden denne ligger lengst unna x-aksen.
Volumet du får når du dreier g(x) om x-aksen er tomrommet hvor du fyller drikket oppi.
Når du dreier f(x) om x-aksen så blir dette utsiden av glasset.
mellomrommet mellom funksjonene blir derfor selve glasset, som holder på drikket.
En ting som er verdt å merke seg er også at g(x) starter ved 0.5, mens f(x) starter ved 0. Mellomrommet her blir derfor bunnen av glasset.