Funksjonsdrøfting

[Matteglaad]

Gitt funksjonen [tex]\frac{2x}{x^2+1}[/tex], finn topp-og bunnpunkt.
Jeg vet at jeg finner disse punktene ved å sette den deriverte lik 0, og den deriverte blir: [tex]\frac{2-2x^2}{x^2+1}[/tex].
Funksjonen blir 0 når og bare når telleren blir 0. Så da setter jeg 2(1-x^2)=0 -> x=+-1.
Men i følge fasit, så skal x=-2 og x=6 også være ekstremalpunkt? Det skjønner jeg ikke... Hva er det jeg gjør feil?

[Matteglaad]

Glemte å si at nevneren i den deriverte skal være opphøyet i andre!

[Dolandyret]

Gitt funksjonen [tex]\frac{2x}{x^2+1}[/tex], finn topp-og bunnpunkt.
Jeg vet at jeg finner disse punktene ved å sette den deriverte lik 0, og den deriverte blir: [tex]\frac{2-2x^2}{x^2+1}[/tex].
Funksjonen blir 0 når og bare når telleren blir 0. Så da setter jeg 2(1-x^2)=0 -> x=+-1.
Men i følge fasit, så skal x=-2 og x=6 også være ekstremalpunkt? Det skjønner jeg ikke... Hva er det jeg gjør feil?

Du deriverer feil.
Brøkregelen: [tex](\frac uv)=\frac {u'v-uv'}{v^2}[/tex]

EDIT: glem det. Jeg som er blind. Du har derivert riktig.
Skal sjekke oppgaven.

[Dolandyret]

(-1,-1) og (1,1) er riktig. Enten så er fasit feil, eller så ser du på fasiten til en annen oppgave.

[matteglaad]

(-1,-1) og (1,1) er riktig. Enten så er fasit feil, eller så ser du på fasiten til en annen oppgave.

Takk for svar! Jaa, de to andre x-verdiene gir jo ikke mening i det hele tatt. Skjønner ikke, har dobbeltsjekket at jeg ser på riktig oppgave i fasiten sånn 20 ganger nå hehe. Enten synet mitt eller fasiten det er noe galt med!
Oppgave 6.170c) i sinusboka 2015 versjon om noen skulle lure!

[Guest]

(-1,-1) og (1,1) er riktig. Enten så er fasit feil, eller så ser du på fasiten til en annen oppgave.

Takk for svar! Jaa, de to andre x-verdiene gir jo ikke mening i det hele tatt. Skjønner ikke, har dobbeltsjekket at jeg ser på riktig oppgave i fasiten sånn 20 ganger nå hehe. Enten synet mitt eller fasiten det er noe galt med!
Oppgave 6.170c) i sinusboka 2015 versjon om noen skulle lure!

Sier boka at $x=-1, x=1, x=-2$ og $x=6$ er riktig? Det kan i så fall hende at grafen du ser på har et begrenset definisjonsområde (tillatte x verdier) står det f.eks. noe sånn som: gitt funksjonen $\frac{2x}{x^2+1}$ finn topp- og bunnpunkt for $-2 \leq x \leq 6$ så må også endepunktene være med. Kanskje de har tegnet grafen også stopper den ved $x=-2$ og $x=6$? Hvis ikke må jeg si meg enig i at fasiten tuller (som den ofte kan gjøre)

[Kjemikern]

Husk at du kan alltid dobbelskjekke med geogebra

[matteglaad]

(-1,-1) og (1,1) er riktig. Enten så er fasit feil, eller så ser du på fasiten til en annen oppgave.

Takk for svar! Jaa, de to andre x-verdiene gir jo ikke mening i det hele tatt. Skjønner ikke, har dobbeltsjekket at jeg ser på riktig oppgave i fasiten sånn 20 ganger nå hehe. Enten synet mitt eller fasiten det er noe galt med!
Oppgave 6.170c) i sinusboka 2015 versjon om noen skulle lure!

Sier boka at $x=-1, x=1, x=-2$ og $x=6$ er riktig? Det kan i så fall hende at grafen du ser på har et begrenset definisjonsområde (tillatte x verdier) står det f.eks. noe sånn som: gitt funksjonen $\frac{2x}{x^2+1}$ finn topp- og bunnpunkt for $-2 \leq x \leq 6$ så må også endepunktene være med. Kanskje de har tegnet grafen også stopper den ved $x=-2$ og $x=6$? Hvis ikke må jeg si meg enig i at fasiten tuller (som den ofte kan gjøre)

YES, var nettopp det jeg oppdaget nå! Men hvordan kan jeg vite om x-verdiene til avgrensingene er topp eller bunnpunkt uten å tegne grafen?

[Dolandyret]

Regn ut f(-2) og f(6). Så ser du på y-verdien til punktene og ser hvilket punkt som ligger lengst opp/lengst ned.

[matteglaad]

Regn ut f(-2) og f(6). Så ser du på y-verdien til punktene og ser hvilket punkt som ligger lengst opp/lengst ned.

Men hvordan kan det stemme? Begge kan jo være bunnpunkt selv om den ene er høyere enn den andre, for det sier jo ingenting om hva som ligger i mellom dem..

[Dolandyret]

Regn ut f(-2) og f(6). Så ser du på y-verdien til punktene og ser hvilket punkt som ligger lengst opp/lengst ned.

Men hvordan kan det stemme? Begge kan jo være bunnpunkt selv om den ene er høyere enn den andre, for det sier jo ingenting om hva som ligger i mellom dem..

https://www.matematikk.org/artikkel.htm ... tid=154782

[matteglaad]

Regn ut f(-2) og f(6). Så ser du på y-verdien til punktene og ser hvilket punkt som ligger lengst opp/lengst ned.

Men hvordan kan det stemme? Begge kan jo være bunnpunkt selv om den ene er høyere enn den andre, for det sier jo ingenting om hva som ligger i mellom dem..

https://www.matematikk.org/artikkel.htm ... tid=154782

Her kommer en konkret oppgave: [tex]f(x)=xe^{-x^}[/tex], og x er et tall i intervallet fra og med -1 til og med 4.
Jeg skal finne topp- og bunnpunkt.
Jeg deriverer, setter den deriverte lik 0 og tegner fortegnslinje. Jeg ser da at x=1 er et toppunkt. Jeg har to ekstremalpunkt til, nemlig -1 og 4 siden de enten er høyere eller lavere enn punktene rundt. Jeg setter disse x-verdiene inn i f(x) og ser at x=4 gir en høyere verdi enn x=-1. Men jeg kan likevel ikke konkludere med at x=4 er et toppunkt i og med at det er verdiene i nærheten som teller. x=4 er nemlig et bunnpunkt. Det jeg lurte på var hvordan jeg kan finne ut av dette på beste måte uten å bruke geogebra?

[matteglaad]

Noen som vet?

[Dolandyret]

Noen som vet?

Etter derivasjon får vi: [tex]-e^{-x}(x-1)[/tex]. Den ene faktoren er alltid negativ, mens den andre er alltid positiv.
Fortegnslinjen du får ser sånn ut: [tex]+++++0-----[/tex]. Grafen stiger altså fra en verdi som er lavere enn verdien til toppunktet(derfor +++++), og etter toppunktet så synker den til en lavere verdi enn toppunktet. Derfor blir begge punktene bunnpunkter.

Noen ganger, siden funksjonen har en definisjonsmengde, så får du fortegnslinjer som ser sånn her ut: [tex]-----0-----[/tex]. Etter regningen din har du kun ett toppunkt, men siden grafen synker mot det toppunktet, så må det lokale ekstremalpunktet som ligger før toppunktet også være et toppunkt.