Gradient og tangentplan til funksjon

[klof21]

Hei! Sliter med en oppgave her, oppgavetekst:

- Finn gradienten til funksjonen f(x,y) = e^(x*y) i pkt (2,0).
- Finn en ligning for tangentplanet til funksjonen i dette punktet.

Jeg har funnet gradienten, grad f(x,y)=(y*e^(x*y), x*e^(x*y).

Jeg vet at tangentplanet til funksjonen i punktet (2,0) står normalt på gradientvektoren i dette punktet.

Dermed tenker jeg: ligning for et plan er gitt ved ett kjent punkt i planet, og normalvektoren til planet. Kjenner til et punkt i planet (2,0). Jeg tar så grad f(2,0) og får vektoren (0,2). Jeg tenker at siden planet står normalt på gradientvektoren, så vil vektoren (0,2) være normalvektoren til planet. Men jeg får ikke til å lage ligning for planet, da vi kun har koordinater av x og y her, og mangler z. Hva er det jeg misforstår eller ikke skjønner? Kan noen prøve å forklare hvordan dette ser ut i rommet, og hvordan og hvorfor løsningen blir som den blir?

Har fått løsningsforslag til oppgaven, og det ser slik ut:

Tangentplanet til grafen z = f(x, y) til funksjonen i et gitt punkt står normalt på
gradientvektoren i dette punktet, slik at det vil være gitt av likningen
z = f(2, 0) + ∇f(2, 0) · ((x − 2)i + (y − 0)j),
som, ved å gange ut prikkproduktet, gir
z − 2y − 1 = 0

Skjønner her sammenhengen med at z=f(x,y), men jeg skjønner ikke hvordan man kan lage ligningen for et plan på denne måten, må man ikke ha normalvektoren til planet?

På forhånd takk for svar!

[Brahmagupta]

Når det er snakk om tangentplanet til en funksjon $f:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$, så siktes
det heller til tangentplanet til flaten, parametrisert ved $g(x,y)=(x,y,f(x,y)$.
Uttrykket $z=f(x_0,y_0)+\nabla f\cdot (x-x_0,y-y_0)$ kalles gjerne lineariseringen til $f$
i $(x_0,y_0)$ og vi skal se at dette sammenfaller med ligningen for tangentplanet
funnet ved hjelp av en normalvektor og et punkt.

La oss nå se hvordan vi kan finne ligningen for tangentplanet i et punkt
$(x_0,y_0,z_0)=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ ved hjelp av en normalvektor.
I punktet $(x_0,y_0)$ vil de partiellderiverte
\[\frac{\partial g}{\partial x}=(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}) \mbox{ og } \frac{\partial g}{\partial y}=
(0,1,\frac{\partial f}{\partial y})\]
(evaluert i $(x_0,y_0)$) utspenne tangentplanet (tenkt på dette geometrisk). I dette
tilfellet vil det si at de begge ligger i tangentplanet og ikke er parallelle. Nå kan vi
finne en normalvektor ved kryssproduktet
\[n=\frac{\partial g}{\partial x}\times \frac{\partial g}{\partial y}=(1,0,\frac{\partial f}{\partial x})
\times (0,1,\frac{\partial f}{\partial y})=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1).\]
Dermed finner vi planligningen på vanlig måte ved
\[n\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\Leftrightarrow (z-z_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)-
\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=0.\]
Husker vi nå på at $z_0=f(x_0,y_0)$ så kan denne ligningen omformes til
\[z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=f(x_0,y_0)
+\nabla f\cdot (x-x_0,y-y_0),\]
hvilket er formelen de bruker i fasiten. Det vil si at disse to metodene er ekvivalente og du
kan sette opp uttrykket direkte uten å gå veien om en normalvektor!

[klof21]

Tusen takk for meget utfyllende og forklarende svar! Slo meg til ro med at dette var en "formel"/"mal" for hvordan ligningen til tangentplanet i et gitt punkt kan se ut, og godtok at jeg ikke forsto hvorfor, og at jeg bare må kunne bruke den. Men her kom jo utledningen på løpende bånd, og mye mer forståelig og intuitivt enn jeg noen gang har sett en matematikkforeleser på universitetet gjøre det. Kudos til deg!