Gauss eliminasjonsmetode

[Lilli]

Jeg klarer ikke helt å forstå dette me gauss eliminasjon så setter veldig stor pris på hvis noen kan hjelpe meg me dette.

To oppgaver jeg for eks. ikke klarer å løse er disse:)

1) Drøft løsningene av følgende likningssystem for forskjellige verdier av a og b ved å bruke gauss eliminasjon.

x+y-z=1
x-y+2z=2
x+2y+az=b

2) Finn de verdiene av c som er slik at systemet

2w+x+4y+3z=1
w+3x+2y-z=3c
w+x+2y+z=c^2

har en løsning, og finn den fullstendige løsningen for disse verdiene av c.

Jeg klarer rett å slett ikke å skjønne hvordan de steg for steg kommer frem til løsningene og hvordan jeg vet hvor mange og hva slags løsninger det er.

Har sittet å prøvd på dette lenge nå å skal ha eksamen i dette om en stund å kommer liksom ikke videre i pensum pga dette så blir sjelegla hvis noen kan hjelpe meg me dette:)

[Andrina]

1) I) x+y-z=1
II) x-y+2z=2
III) x+2y+az=b

Gauss eliminasjon betyr at du skal først få vekk x-variabelen i de to siste likningene:

I) x+y-z=1
IV):I)-II): 2y-3z=-1
V): I)-III): -y-(a+1)z=1-b

Så skal du eliminere y-variabelen i tredje likning:

I) x+y-z=1
IV) 2y-3z=-1
VI):IV)+2V) -(5+2a)z=1-2b

Hvis a er ulik -5/2, da er 5+2a ulik 0, så vi kan dele med -(5+2a) og får
z=(1-2b)/-(5+2a)=(2b-1)/(5+2a)

Fra IV) får vi da 2y=-1+3z=-1+(6b-3)/(5+2a)=(6b-2a-8)/(5+2a),
y=(3b-a-4)/(5+2a)

Fra I) får vi x=1-y+z=1-(3b-a-4)/(5+2a)+(2b-1)/(5+2a)
=1+(a-b+3)/(5+2a)=(3a-b+8)/(5+2a)

(Det er ikke umulig at det er noen regnefeil her :)) I alle fall for du en entydig løsning av systemet når a er ulik -5/2.

Når a er lik -5/2, da blir VI):0=1-2b
i) b=1/2: Da er VI): 0=0, z er en fri variabel og det finnes uendelig mange løsninger.

ii) b ulik 1/2: Da står det 0 på venstresiden i VI), mens det står noe ulik 0 på høyresiden. Dette går selvfølgelig ikke, så det finnes ingen løsning.

Kommer tilbake til 2)

[Andrina]

2) I) w+3x+2y-z=3c
II) w+x+2y+z=c^2
III) 2w+x+4y+3z=1

Her får du først vekk variabelen w i de siste to likninger:

I) w+3x+2y-z=3c
IV): I)-II) 2x -2z=3c-c^2
V):2I)-III) 5x -5z=6c-1

Nå kan du eliminere x variabelen i V):

I) w+3x+2y-z=3c
IV) 2x -2z=3c-c^2
VI):5IV)-2V) 0=-5c^2+3c+2

Som i 1), hvis -5c^2+3c+2 er ulik 0, da har vi ingen løsning.

Hvis -5c^2+3c+2=0, da er y og z frie variabler og det finnes uendelig mange løsninger.

-5c^2+3c+2=0 er en annengradslikning med løsningene
c=-1 eller c=2/5.

Jeg setter opp regnestykket for c=-1, c=2/5 går analogt:

I) w+3x+2y-z=-3
IV) 2x -2z=-4
VI) 0=0

Som sagt, y og z er frie variabler.

Fra IV) får vi: 2x=-4+2z
x=-2+z

Setter inn x=-2+z i I) og får:

w-6+3z+2y-z=-3

w+2y+2z-6=-3

w=3-2y-2z

Så det (2-dim) løsningsrommet i dette tilfellet er

{(3-2y-2z, -2+z, y, z)| y, z skalar}
={(3,-2,0,0)+(-2,0,1,0)y+(-2,1,0,1) |y,z skalar}