cos(n*Pi)

[Amadeus]

Hei!

Hvordan kan vi bevise at cos(n*Pi) kan skrives som (-1)^n?


På forhånd takk

[Nebuchadnezzar]

Det enkleste er vel å studere enhetssirkelen for å forstå hvorfor formelen stemmer. En måte å formelt vise det på er for eksempel via induksjon.

Metode 1: Induksjon

Ønsker å vise at $\cos( n \pi) = (-1)^n$.
1) Grunntilfellet $n = 0$. HS = $\cos 0 = 1$, VS = $(-1)^0 = 1$

2) Anta at formelen stemmer for $n = k$, med andre ord at $\cos k \pi = (-1)^k$.
Vis at dette medfører at $\cos (k+1)\pi = (-1)^{k+1}$.

Her anbefaler jeg deg å bruke sum-formelen for cosinus $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ på $\cos (k+1)\pi $. Står du fast er det bare å spørre igjen =)

Metode 2: Eulers formel

$e^{i w} = \cos w + i \sin w$, ved å sette $w = \pi$ fås

$ \hspace{1cm}
e^{i \pi} = -1
$

Siden $\cos \pi = -1$ og $\sin \pi = 0$. Herfra kan vi opphøye begge sider i $n$

$ \hspace{1cm}
e^{ i \pi n} = (-1)^n
$

Dersom du igjen bruker eulers-formel og sammenligner realdelen på hver side får du det du ønsket å vise. Fordelen med siste metode er at den gir $\sin (n\pi) = 0$, selv om dette burde være intuitivt fra enhetssirkelen.