Radius i kule med dobbelt volum

[ymsetjenesta]

Er en gamling som prøver å ta opp igjen matte fra VGS. Uten å gå nærmere innpå det, kan jeg bare si en ting. Men blir rusten og selv grunnleggende kunnskap er visket ut

Men kom over følgende oppgave:
Radius i en kule er r. Regn ut radius i den kulen som har et dobbelt så stort volum.

Vet dette er elementært, men står rett og slett helt fast.

På forhånd takk for all hjelp.

[Guest]

Volum av en kule er gitt ved formelen $\frac{4}{3}\pi r^2 = V$ Løser du dette uttrykket mhp. r får du $\sqrt{\frac{3}{4 \pi}V} = r$
La oss kalle volum i den første kula for $V_1$ og volum i den andre kula for $V_2$ og tilsvarende for r.
Dobler du så volum vil du få følgende uttrykk:
$r_2 = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}2V_1} = \sqrt{2}\sqrt{\frac{3}{4 \pi}V_1} = \sqrt{2}r_1$

Altså radius i kula med dobbelt så stort volum er roten av 2 ganger så stor som radius i den første kula.

[Guest]

Volum av en kule er gitt ved formelen $\frac{4}{3}\pi r^3 = V$ Løser du dette uttrykket mhp. r får du $\sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}V} = r$
La oss kalle volum i den første kula for $V_1$ og volum i den andre kula for $V_2$ og tilsvarende for r.
Dobler du så volum vil du få følgende uttrykk:
$r_2 = \sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}2V_1} = \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{\frac{3}{4 \pi}V_1} = \sqrt[3]{2}r_1$

Altså radius i kula med dobbelt så stort volum er tredje roten av 2 ganger så stor som radius i den første kula.

Sry, skulle være $r^3$ Har rettet på det nå.

[ymsetjenesta]

Hei beklager mas. Men kunne du utledet litt hvordan du forkorter formelen?

Takk så mye

[ymsetjenesta]

Da trekker jeg siste spørsmål tilbake. Ser løsningen nå Evneveikt av undertegnende.......takk for du berget nattesøvnen idag.

[Guest]

Vi var enige om at $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ er det samme som at $r = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V}$, sant?
Når vi da senere skal regne ut den nye radiusen "$r_2$" bruker vi samme generelle uttrykk. Det eneste som ikke er konstant her er volum, derfor setter vi også volumet som "$V_2$" for å indikere at dette er volumet til kule 2.
Setter vi nå opp uttrykket for radius til kule 2 har vi altså:
$r_2 = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_2}$, det samme generelle uttrykket som gjelder for hvilken som helst r.
Nå vet vi at $V_2 = 2V_1$ fordi volumet av kule 2 skulle være dobbelt så stort som volumet for kule 1, så vi bytter ut $V_2$ med $2V_1$
$r_2 = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}(2V_1)}$
Det vi nå gjør er at vi flytter 2 utenfor rottegnet. Vi har at $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ Hvis vi nå kaller $2$ for a da, og resten for b har vi at:
$r_2 = \sqrt[3]{2 \frac{3}{4\pi}V_1} = \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_1}$.

Nå kommer vi til det jeg antar du lurte på.
Husk at det generelle uttrykket vårt var $r = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V}$. Det betyr at $r_1 = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_1}$
Legg nå merke til at dette er nøyaktig det samme som står her etter tredje roten av 2.
$r_2 = \sqrt[3]{2} \cdot $$\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V_1}$
Altså kan vi erstatte dette med $r_1$ og vi får uttrykket vårt $r_2 = \sqrt[3]{2}$$r_1$

Vet ikke om det besvarte spørsmålet ditt, men jeg håper det ble lettere å forstå