Integrasjon med polynomdivisjon

[Guest]

Hei, jeg har litt startvansker med dette integralet:

[tex]\int \frac{x^{2}+x+13}{x^{3}-2x^{2}-5x+6}dx[/tex]

Ser at nevneren kan faktoriseres [tex]{x^{3}-2x^{2}-5x+6} = (x-1)(x-2)(x+3)[/tex]

Problemet er hvordan kan jeg vise det jeg har kommet til?

Går det ann å skrive

[tex]\frac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{2}+x+13}[/tex]

For å så bruke polynomdivisjon og komme frem til [tex]x-3+\frac{15x+45}{x^2+x+6}[/tex]

Og deretter si at (x-3) er et ledd i brøken for å så dele opp stykket?

Hadde vært fint hvis noen kunne veiledet med føring her.

[Drezky]

Hei, er du ute etter å finne en metode for å faktorisere nevneren?

Skjekker nevneren for nullpunkter der jeg antar at de er heltallige. Rational root theorem gir at:
[tex]\pm 2,\pm 1,\pm 3,\pm 6[/tex] kan være mulige røtter.
Plotter inn tallene og ser at for [tex]x_1=1,x_2=2,x_3=-3[/tex] får vi [tex]f(x)=0[/tex]
Dermed er: [tex]x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x-2)(x+3)[/tex]

[Guest]

Hei, mulig jeg forklarte meg litt klossete, men jeg tenker å gjøre dette uten hjelpemidler.

Går det ann å bruke det jeg fant etter første polynomdivisjon: [tex]x-3+\frac{15x-45}{x^2+x+6}[/tex]

For å si at x-3 er et ledd i [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]


Ta en ny polynomdivisjon[tex]\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x-3} = x^2+x-2[/tex]


For å så bruke abc-formelen på [tex]x^2+x-2[/tex] og da komme fram til (x+2)(x-1) ?

Og da til slutt konkludere med at: [tex]\int \frac{x^2+x+13}{(x-3)(x-1)(x+2)}dx[/tex]

For å da fortsette med delbrøkoppspalting?

[Dolandyret]

Hei, mulig jeg forklarte meg litt klossete, men jeg tenker å gjøre dette uten hjelpemidler.

Går det ann å bruke det jeg fant etter første polynomdivisjon: [tex]x-3+\frac{15x-45}{x^2+x+6}[/tex]

For å si at x-3 er et ledd i [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]


Ta en ny polynomdivisjon[tex]\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x-3} = x^2+x-2[/tex]


For å så bruke abc-formelen på [tex]x^2+x-2[/tex] og da komme fram til (x+2)(x-1) ?

Og da til slutt konkludere med at: [tex]\int \frac{x^2+x+13}{(x-3)(x-1)(x+2)}dx[/tex]

For å da fortsette med delbrøkoppspalting?

Vil tro det fungerer, siden du kom frem til riktig svar, men hvorfor gjøre det så "kålete"?

Se på konstantleddet. Dette forteller deg i de aller fleste tilfeller hva faktorene kan være.
Dette er hvordan jeg ville gått frem:
Ser at konstantleddet er 6. Da er antagelig faktorene: [tex]\pm1,\pm2,\pm3.\pm6[/tex]
Tar en kjapp titt på polynomet: [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]. Setter inn for [tex]x=1[/tex] og finner da fort ut at dette er en faktor, fordi [tex]1^3-2*1^2-5*1+6=1-2-5+6=7-7=0[/tex].
Så er det bare å kjøre på med vanlig polynomdivisjon.

[Drezky]

Hei, mulig jeg forklarte meg litt klossete, men jeg tenker å gjøre dette uten hjelpemidler.

Går det ann å bruke det jeg fant etter første polynomdivisjon: [tex]x-3+\frac{15x-45}{x^2+x+6}[/tex]

For å si at x-3 er et ledd i [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]


Ta en ny polynomdivisjon[tex]\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x-3} = x^2+x-2[/tex]


For å så bruke abc-formelen på [tex]x^2+x-2[/tex] og da komme fram til (x+2)(x-1) ?

Og da til slutt konkludere med at: [tex]\int \frac{x^2+x+13}{(x-3)(x-1)(x+2)}dx[/tex]

For å da fortsette med delbrøkoppspalting?

Vil tro det fungerer, siden du kom frem til riktig svar, men hvorfor gjøre det så "kålete"?

Se på konstantleddet. Dette forteller deg i de aller fleste tilfeller hva faktorene kan være.
Dette er hvordan jeg ville gått frem:
Ser at konstantleddet er 6. Da er antagelig faktorene: [tex]\pm1,\pm2,\pm3.\pm6[/tex]
Tar en kjapp titt på polynomet: [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]. Setter inn for [tex]x=1[/tex] og finner da fort ut at dette er en faktor, fordi [tex]1^3-2*1^2-5*1+6=1-2-5+6=7-7=0[/tex].
Så er det bare å kjøre på med vanlig polynomdivisjon.

Det var akkurat det jeg sa!!

[Dolandyret]

Hei, mulig jeg forklarte meg litt klossete, men jeg tenker å gjøre dette uten hjelpemidler.

Går det ann å bruke det jeg fant etter første polynomdivisjon: [tex]x-3+\frac{15x-45}{x^2+x+6}[/tex]

For å si at x-3 er et ledd i [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]


Ta en ny polynomdivisjon[tex]\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x-3} = x^2+x-2[/tex]


For å så bruke abc-formelen på [tex]x^2+x-2[/tex] og da komme fram til (x+2)(x-1) ?

Og da til slutt konkludere med at: [tex]\int \frac{x^2+x+13}{(x-3)(x-1)(x+2)}dx[/tex]

For å da fortsette med delbrøkoppspalting?

Vil tro det fungerer, siden du kom frem til riktig svar, men hvorfor gjøre det så "kålete"?

Se på konstantleddet. Dette forteller deg i de aller fleste tilfeller hva faktorene kan være.
Dette er hvordan jeg ville gått frem:
Ser at konstantleddet er 6. Da er antagelig faktorene: [tex]\pm1,\pm2,\pm3.\pm6[/tex]
Tar en kjapp titt på polynomet: [tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]. Setter inn for [tex]x=1[/tex] og finner da fort ut at dette er en faktor, fordi [tex]1^3-2*1^2-5*1+6=1-2-5+6=7-7=0[/tex].
Så er det bare å kjøre på med vanlig polynomdivisjon.

Det var akkurat det jeg sa!!

Lol. La ikke merke til at du svingte innom med en kommentar