seperabel diff.likning

[stimorolextra]

Skal løse denne vha. metoden for seperabel difflikning:
2xy´+y=1 ,y<1

Jeg klarer ikke å separere x og y på hver sin side....

[Kjemikern]

Skal løse denne vha. metoden for seperabel difflikning:
2xy´+y=1 ,y<1

Jeg klarer ikke å separere x og y på hver sin side....

[tex]2xy'+y=1\\2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\\frac{1}{2x}\, dx=\frac{1}{1-y}\: dy[/tex]

[Kjemikern]

[tex]2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\\frac{1}{2x}\, dx=\frac{1}{1-y}\: dy[/tex]

Dersom dette steget var litt uklart så har jeg;

[tex]2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\2x\, dy=1-y\, dx\\1\, dy=\frac{1-y}{2x}\, dx\\\frac{1}{1-y}\, dy=\frac{1}{2x}\, dx[/tex]

[stimorolextra]

[tex]2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\\frac{1}{2x}\, dx=\frac{1}{1-y}\: dy[/tex]

Dersom dette steget var litt uklart så har jeg;

[tex]2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\2x\, dy=1-y\, dx\\1\, dy=\frac{1-y}{2x}\, dx\\\frac{1}{1-y}\, dy=\frac{1}{2x}\, dx[/tex]

Aha, takk! Jeg visste faktisk ikke at det der var mulig å gjøre... Hadde det ikke kanskje bare vært lettere å løse den på vanlig måte (med integrasjonsfaktor?)

[Kjemikern]

[tex]2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\\frac{1}{2x}\, dx=\frac{1}{1-y}\: dy[/tex]

Dersom dette steget var litt uklart så har jeg;

[tex]2x\, \frac{dy}{dx}=1-y\\2x\, dy=1-y\, dx\\1\, dy=\frac{1-y}{2x}\, dx\\\frac{1}{1-y}\, dy=\frac{1}{2x}\, dx[/tex]

Aha, takk! Jeg visste faktisk ikke at det der var mulig å gjøre... Hadde det ikke kanskje bare vært lettere å løse den på vanlig måte (med integrasjonsfaktor?)

Prøv og se om det går

[stimorolextra]

Når jeg regnet den ut fikk jeg [tex]y=-(2x)^{1/2}C-1[/tex] som svar. Det er feil. Svaret skulle bli [tex]y=1-\frac{C}{\sqrt{x}}[/tex].......... Skjønner ikke hva jeg har gjort galt?

[Kjemikern]

Når jeg regnet den ut fikk jeg [tex]y=-(2x)^{1/2}C-1[/tex] som svar. Det er feil. Svaret skulle bli [tex]y=1-\frac{C}{\sqrt{x}}[/tex].......... Skjønner ikke hva jeg har gjort galt?

$\frac{1}{1-y}\, dy=\frac{1}{2x}\, dx$
[tex]-\ln\left | 1-y \right |=\frac{1}{2} \ln \left |x \right |+C\\\ln\left | 1-y \right |=-\frac{1}{2}\ln\left | x \right |+C\\\ln \left | 1-y \right |=\ln\left | x^{-\frac{1}{2}} \right |+C\\1-y=e^{ln\left | x^{-\frac{1}{2}}\right |+C}\\1-y=\frac{C}{\sqrt{x}}\\y=1-\frac{C}{\sqrt{x}}[/tex]