integrasjon

[matteglaad]

Når jeg skal integrere [tex]\int \frac{1}{2x-2}dx[/tex] så kan jeg jo skrive det om til [tex]\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}[/tex].
Men hvordan skulle jeg gjort det om jeg ikke hadde skrevet om? Det blir jo feil å skrive at svaret blir ln(2x-2)... Hvorfor blir det feil egentlig? Regner med at det er fordi det er et sammensatt uttrykk siden man har et tall fremfor x? Og at man da må utføre en substitusjon? Da setter jeg u=2x-2, og [tex]\int \frac{1}{u}*\frac{du}{2}[/tex]. Svaret jeg får da blir [tex]\frac{1}{2}ln(2x-2)[/tex]. Blir ikke det feil? Hvor er det jeg tenker feil?

[Dolandyret]

Når jeg skal integrere [tex]\int \frac{1}{2x-2}dx[/tex] så kan jeg jo skrive det om til [tex]\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}[/tex].
Men hvordan skulle jeg gjort det om jeg ikke hadde skrevet om? Det blir jo feil å skrive at svaret blir ln(2x-2)... Hvorfor blir det feil egentlig? Regner med at det er fordi det er et sammensatt uttrykk siden man har et tall fremfor x? Og at man da må utføre en substitusjon? Da setter jeg u=2x-2, og [tex]\int \frac{1}{u}*\frac{du}{2}[/tex]. Svaret jeg får da blir [tex]\frac{1}{2}ln(2x-2)[/tex]. Blir ikke det feil? Hvor er det jeg tenker feil?

Du integrerer bare med hensyn på "x-leddet". Siden en halv her er en konstant, så kan du bare trekke den utenfor og la den stå der mens du integrerer "x-leddet". Men da kan du egentlig like godt trekke det utenfor selve integralet, for å så gange det inn igjen senere.

Altså: [tex]\int\frac{1}{2x-2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}dx[/tex]. Substituer [tex]u=x-1[/tex]

[tex]\int\frac12\cdot\frac1u du=\frac12\cdot ln|x-1|+C[/tex]

[matteglaad]

Når jeg skal integrere [tex]\int \frac{1}{2x-2}dx[/tex] så kan jeg jo skrive det om til [tex]\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}[/tex].
Men hvordan skulle jeg gjort det om jeg ikke hadde skrevet om? Det blir jo feil å skrive at svaret blir ln(2x-2)... Hvorfor blir det feil egentlig? Regner med at det er fordi det er et sammensatt uttrykk siden man har et tall fremfor x? Og at man da må utføre en substitusjon? Da setter jeg u=2x-2, og [tex]\int \frac{1}{u}*\frac{du}{2}[/tex]. Svaret jeg får da blir [tex]\frac{1}{2}ln(2x-2)[/tex]. Blir ikke det feil? Hvor er det jeg tenker feil?

Du integrerer bare med hensyn på "x-leddet". Siden en halv her er en konstant, så kan du bare trekke den utenfor og la den stå der mens du integrerer "x-leddet". Men da kan du egentlig like godt trekke det utenfor selve integralet, for å så gange det inn igjen senere.

Altså: [tex]\int\frac{1}{2x-2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}dx[/tex]. Substituer [tex]u=x-1[/tex]

[tex]\int\frac12\cdot\frac1u du=\frac12\cdot ln|x-1|+C[/tex]

Ja, jeg skjønner det! Men la oss si at uttrykket hadde sett slik ut: [tex]\int \frac{1}{2x-1}dx[/tex]. Da hadde det jo ikke gått an å trekke ut noe. Hvordan skulle jeg ha gjort det da?

[Kjemikern]

Når jeg skal integrere [tex]\int \frac{1}{2x-2}dx[/tex] så kan jeg jo skrive det om til [tex]\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}[/tex].
Men hvordan skulle jeg gjort det om jeg ikke hadde skrevet om? Det blir jo feil å skrive at svaret blir ln(2x-2)... Hvorfor blir det feil egentlig? Regner med at det er fordi det er et sammensatt uttrykk siden man har et tall fremfor x? Og at man da må utføre en substitusjon? Da setter jeg u=2x-2, og [tex]\int \frac{1}{u}*\frac{du}{2}[/tex]. Svaret jeg får da blir [tex]\frac{1}{2}ln(2x-2)[/tex]. Blir ikke det feil? Hvor er det jeg tenker feil?

Du integrerer bare med hensyn på "x-leddet". Siden en halv her er en konstant, så kan du bare trekke den utenfor og la den stå der mens du integrerer "x-leddet". Men da kan du egentlig like godt trekke det utenfor selve integralet, for å så gange det inn igjen senere.

Altså: [tex]\int\frac{1}{2x-2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}dx[/tex]. Substituer [tex]u=x-1[/tex]

[tex]\int\frac12\cdot\frac1u du=\frac12\cdot ln|x-1|+C[/tex]

Ja, jeg skjønner det! Men la oss si at uttrykket hadde sett slik ut: [tex]\int \frac{1}{2x-1}dx[/tex]. Da hadde det jo ikke gått an å trekke ut noe. Hvordan skulle jeg ha gjort det da?

La [tex]u=2x-1[/tex], og bruk sub.

[Nebuchadnezzar]

Svaret til Mattegal / trådstarter er også helt riktig! Men det krever litt mer å se det. Svarene er like opp til en konstant

For å se at $\frac{1}{2} \log(2x-2)$ er riktig, kan en derivere uttrykket å se hva en ender opp med.

Eventuelt så kan en se at

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\int \frac{\mathrm{d}x}{2x-2}
& = \frac{1}{2}\log(2x-2) + C_1 \\
& = \frac{1}{2}\log\bigl[ 2(x-1) \bigr] + C_1 \\
& = \frac{1}{2}\log (x-1) + \frac{1}{2} \log 2 + C_1 \\
& = \frac{1}{2}\log (x-1) + C
\end{align*}
$