Classify critical points:
f(x,y) = xye[sup]-x+y[/sup]
f[sub]1[/sub](x,y)= e[sup]-x+y[/sup]*(y-x[sup]2[/sup]y+xy[sup]2[/sup]) = 0
f[sub]2[/sub](x,y) = e[sup]-x+y[/sup]*(x-x[sup]2[/sup]y+xy[sup]2[/sup]) = 0
Hva gjør jeg så? Ser at (0,0) gir et kritisk punkt ihvertfall.
Classify Critical Points
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Solar Plexsus
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Du har partiellderivert feil fordi
f[sub]x[/sub](x,y) = ye[sup]y[/sup] (xe[sup]-x[/sup])' = ye[sup]y[/sup] [(x)'*e[sup]-x[/sup] + x*(e[sup]-x[/sup])'] = ye[sup]y[/sup] [1*e[sup]-x[/sup] + x*(-e[sup]-x[/sup])] = (1 - x)y e[sup]-x+y[/sup],
f[sub]y[/sub](x,y) = xe[sup]-x[/sup] (ye[sup]y[/sup])' = xe[sup]-x[/sup] [(y)'*e[sup]y[/sup] + y*(e[sup]y[/sup])'] = xe[sup]-x[/sup] [1*e[sup]y[/sup] + y*(e[sup]y[/sup])] = x(1 + y) e[sup]-x+y[/sup].
De kritiske punktene finner du ved å løse likningssystemet f[sub]x[/sub](x,y) = f[sub]y[/sub](x,y) = 0, dvs.
(1 - x)y e[sup]-x+y[/sup] = 0,
x(1 + y) e[sup]-x+y[/sup] = 0.
I.o.m. at e[sup]-x+y[/sup] > 0, står vi igjen med x(1 + y) = (1 - x)y = 0 som har løsningene x=0,y=0 og x=1,y=-1. Dermed blir de kritiske punktene (0,0) og (1,-1).
f[sub]x[/sub](x,y) = ye[sup]y[/sup] (xe[sup]-x[/sup])' = ye[sup]y[/sup] [(x)'*e[sup]-x[/sup] + x*(e[sup]-x[/sup])'] = ye[sup]y[/sup] [1*e[sup]-x[/sup] + x*(-e[sup]-x[/sup])] = (1 - x)y e[sup]-x+y[/sup],
f[sub]y[/sub](x,y) = xe[sup]-x[/sup] (ye[sup]y[/sup])' = xe[sup]-x[/sup] [(y)'*e[sup]y[/sup] + y*(e[sup]y[/sup])'] = xe[sup]-x[/sup] [1*e[sup]y[/sup] + y*(e[sup]y[/sup])] = x(1 + y) e[sup]-x+y[/sup].
De kritiske punktene finner du ved å løse likningssystemet f[sub]x[/sub](x,y) = f[sub]y[/sub](x,y) = 0, dvs.
(1 - x)y e[sup]-x+y[/sup] = 0,
x(1 + y) e[sup]-x+y[/sup] = 0.
I.o.m. at e[sup]-x+y[/sup] > 0, står vi igjen med x(1 + y) = (1 - x)y = 0 som har løsningene x=0,y=0 og x=1,y=-1. Dermed blir de kritiske punktene (0,0) og (1,-1).
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Solar Plexsus
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For å klassifisere disse to kritiske punktene, må man bruke andrederivasjonstesten. Den innebærer at man må beregne
Δ(x,y) = f[sub]xx[/sub](x,y)*f[sub]yy[/sub](x,y) - [f[sub]xy[/sub](x,y)][sup]2[/sup]
der
f[sub]xx[/sub](x,y) = [f[sub]x[/sub](x,y)][sub]x[/sub] = [(1 - x)y e[sup]-x+y[/sup]][sub]x[/sub] = ye[sup]y[/sup] [(1 - x)e[sup]-x[/sup]][sub]x[/sub] = ye[sup]y[/sup](x - 2)e[sup]-x[/sup] = (x - 2)y e[sup]-x+y[/sup],
f[sub]yy[/sub](x,y) = [f[sub]y[/sub](x,y)][sub]y[/sub] = [x(y+1)e[sup]-x+y[/sup]][sub]y[/sub] = xe[sup]-x[/sup] [(y+1)e[sup]y[/sup]][sub]y[/sub] = xe[sup]-x[/sup](y + 2)e[sup]y[/sup] = x(y + 2)e[sup]-x+y[/sup],
f[sub]xy[/sub](x,y) = [f[sub]x[/sub](x,y)][sub]y[/sub] = [(1 - x)y e[sup]-x+y[/sup]][sub]y[/sub] = (1 - x)e[sup]-x[/sup] [ye[sup]y[/sup]][sub]y[/sub] = (1 - x)e[sup]-x[/sup](y + 1)e[sup]y[/sup] = (1 - x)(y + 1)e[sup]-x+y[/sup].
Dermed får vi at
Δ(0,0) = f[sub]xx[/sub](0,0)*f[sub]yy[/sub](0,0) - [f[sub]xy[/sub](0,0)][sup]2[/sup] = 0*0 - 1[sup]2[/sup] = 0 - 1 = -1,
Δ(1,-1) = f[sub]xx[/sub](1,-1)*f[sub]yy[/sub](1,-1) - [f[sub]xy[/sub](1,-1)][sup]2[/sup] = e[sup]-2[/sup]*e[sup]-2[/sup] - 0[sup]2[/sup] = e[sup]-4[/sup].
Ifølge andrederivasjonstesten er
* (0,0) et sadelpunkt fordi Δ(0,0) = -1 < 0.
* (1,-1) et lokalt minimalpunkt fordi Δ(1,-1) = e[sup]-4[/sup] > 0 og f[sub]xx[/sub](1,-1) = e[sup]-2[/sup] > 0.
Δ(x,y) = f[sub]xx[/sub](x,y)*f[sub]yy[/sub](x,y) - [f[sub]xy[/sub](x,y)][sup]2[/sup]
der
f[sub]xx[/sub](x,y) = [f[sub]x[/sub](x,y)][sub]x[/sub] = [(1 - x)y e[sup]-x+y[/sup]][sub]x[/sub] = ye[sup]y[/sup] [(1 - x)e[sup]-x[/sup]][sub]x[/sub] = ye[sup]y[/sup](x - 2)e[sup]-x[/sup] = (x - 2)y e[sup]-x+y[/sup],
f[sub]yy[/sub](x,y) = [f[sub]y[/sub](x,y)][sub]y[/sub] = [x(y+1)e[sup]-x+y[/sup]][sub]y[/sub] = xe[sup]-x[/sup] [(y+1)e[sup]y[/sup]][sub]y[/sub] = xe[sup]-x[/sup](y + 2)e[sup]y[/sup] = x(y + 2)e[sup]-x+y[/sup],
f[sub]xy[/sub](x,y) = [f[sub]x[/sub](x,y)][sub]y[/sub] = [(1 - x)y e[sup]-x+y[/sup]][sub]y[/sub] = (1 - x)e[sup]-x[/sup] [ye[sup]y[/sup]][sub]y[/sub] = (1 - x)e[sup]-x[/sup](y + 1)e[sup]y[/sup] = (1 - x)(y + 1)e[sup]-x+y[/sup].
Dermed får vi at
Δ(0,0) = f[sub]xx[/sub](0,0)*f[sub]yy[/sub](0,0) - [f[sub]xy[/sub](0,0)][sup]2[/sup] = 0*0 - 1[sup]2[/sup] = 0 - 1 = -1,
Δ(1,-1) = f[sub]xx[/sub](1,-1)*f[sub]yy[/sub](1,-1) - [f[sub]xy[/sub](1,-1)][sup]2[/sup] = e[sup]-2[/sup]*e[sup]-2[/sup] - 0[sup]2[/sup] = e[sup]-4[/sup].
Ifølge andrederivasjonstesten er
* (0,0) et sadelpunkt fordi Δ(0,0) = -1 < 0.
* (1,-1) et lokalt minimalpunkt fordi Δ(1,-1) = e[sup]-4[/sup] > 0 og f[sub]xx[/sub](1,-1) = e[sup]-2[/sup] > 0.