Ordenen til kvotientgrupper

[Janhaa]

Stemmer denne?

[tex](\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{15})\,/\,<(4, 3)>\, \,= (12*15) / (3*5) = 12[/tex]

Hvordan løses den under:

[tex](\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_{6})\,/(<3> \times <2>)[/tex]
?

[Gustav]

Stemmer denne?

[tex](\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{15})\,/\,<(4, 3)>\, \,= (12*15) / (3*5) = 12[/tex]

Hvordan løses den under:

[tex](\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_{6})\,/(<3> \times <2>)[/tex]
?

$4$ har jo orden $3$ i $\mathbb{Z}_{12}$, og $3$ har orden $5$ i $\mathbb{Z}_{15}$. Lcm(3,5)=15, så $|<(4, 3)>|=15$, og $|\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{15}|=12*15$.

Fra fundamentalteoremet er derfor $(\mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{15})\,/\,<(4, 3)>$ isomorf med enten $\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{3}\simeq \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_{6}$ eller $\mathbb{Z}_{2^2}\times \mathbb{Z}_{3}\simeq \mathbb{Z}_{12}$

På den siste vil 3 ha orden 2 i $\mathbb{Z}_6$ og 2 ha orden 3. lcm(2,3)=6, så $|<3,2>|=6$. Dermed har kvotientgruppa orden 6, og er derfor isomorf med $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3 \simeq \mathbb{Z}_6$.

[Janhaa]

På den siste vil 3 ha orden 2 i $\mathbb{Z}_6$ og 2 ha orden 3. lcm(2,3)=6, så $|<3,2>|=6$. Dermed har kvotientgruppa orden 6, og er derfor isomorf med $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3 \simeq \mathbb{Z}_6$.

Takker for svar, men der står:

[tex](\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_{6})\,/(<3> \times <2>)[/tex]

og ikke

[tex](\mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{6})\,/\,<(3, 2)>[/tex]

disse er vel ulike...?

[Gustav]

$<3>\times <2>\simeq <(3,2)>$ Bare skriv opp elementene i de to så blir det åpenbart.

[Janhaa]

$<3>\times <2>\simeq <(3,2)>$ Bare skriv opp elementene i de to så blir det åpenbart.

Skjønner, thanks...