kropper og ringer

[Janhaa]

Skal avgjøre dette:

Anta K er en kropp og [tex]\,a \in K.\,[/tex]Hvis[tex]\,f \in K[x]\,[/tex]dividert med x-a har r som rest, vil f(a) = r
\\\\\\\\\\\\\\\
kan dette avgjøres med å sette opp:

[tex]x-a \equiv r \pmod{f}[/tex]

?

[Brahmagupta]

$f(x)=g(x)(x-a)+r\Rightarrow f(a)=r$

Mer presist hvis $\phi_a:K[x]\to K$ er evaluasjon i $a$, så har vi ved
homomorfiegenskapene at
$\phi_a(f(x))=\phi_a(g(x)(x-a)+r)=\phi_a(g(x))\phi_a(x-a)+\phi_a(r)=\phi_a(r)=r$,
hvilket vi selvfølgelig skriver som $f(a)=r$.

Kjernen til $\phi_a$ er idealet $(x-a)$ slik at vi får en isomorfi $K[x]/(x-a)\cong K$.
Dermed har vi også $f=r\mod{(x-a)}$.

[Janhaa]

$f(x)=g(x)(x-a)+r\Rightarrow f(a)=r$
Mer presist hvis $\phi_a:K[x]\to K$ er evaluasjon i $a$, så har vi ved
homomorfiegenskapene at
$\phi_a(f(x))=\phi_a(g(x)(x-a)+r)=\phi_a(g(x))\phi_a(x-a)+\phi_a(r)=\phi_a(r)=r$,
hvilket vi selvfølgelig skriver som $f(a)=r$.
Kjernen til $\phi_a$ er idealet $(x-a)$ slik at vi får en isomorfi $K[x]/(x-a)\cong K$.
Dermed har vi også $f=r\mod{(x-a)}$.

takker, dette hjalp veldig mye!