Integrerer man alltid en ellipse over Pi?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mdj
Man integrerer jo en sirkel over 2Pi om ikke f.eks y er oppgitt å være større enn 0. Hvordan er det for ellipser?
-
pit
Noe sånt:
------------
For ellipse gjelder:
[tex]x = acos(t)[/tex]
[tex]y =bsin(t)[/tex]
[tex]A = 4\int_{0}^{\pi/2}x(t)(dy(t)/dt)dt = 4\int_{0}^{\pi/2}acos(t)bcos(t)dt = 4\int_{0}^{\pi/2}abcos^2(t)dt = 4\int_{0}^{\pi/2}ab(\frac{1+cos(2t)}2)dt = 4ab\int_{0}^{\pi/2}(\frac{1+cos(2t)}2)dt = 4ab(\frac{t}{2}-\frac{sin(2t)}{4})|_\frac{\pi}{2} -4ab(\frac{t}{2}-\frac{sin(2t)}4)|_0 = ab\pi - 0 = ab\pi[/tex]
------------
For ellipse gjelder:
[tex]x = acos(t)[/tex]
[tex]y =bsin(t)[/tex]
[tex]A = 4\int_{0}^{\pi/2}x(t)(dy(t)/dt)dt = 4\int_{0}^{\pi/2}acos(t)bcos(t)dt = 4\int_{0}^{\pi/2}abcos^2(t)dt = 4\int_{0}^{\pi/2}ab(\frac{1+cos(2t)}2)dt = 4ab\int_{0}^{\pi/2}(\frac{1+cos(2t)}2)dt = 4ab(\frac{t}{2}-\frac{sin(2t)}{4})|_\frac{\pi}{2} -4ab(\frac{t}{2}-\frac{sin(2t)}4)|_0 = ab\pi - 0 = ab\pi[/tex]
Det samme gjelder for ellipser. Dersom du skal integrere en funksjon $f(x, y)$ over en ellipse i $xy$-planet med halvaksene $A$ og $B$, så vil en mulig transformasjon være $x=A r\cos{\theta}$, $y = B r\sin{\theta}$, med $r\in[0, 1]$ og $\theta \in [0, 2\pi]$.
-
mdj
Takk for svar. Så det vil altså være den substitusjonen x = Arcosθ, og y = Brsinθ, hvis man skal bruke iterasjon i stedet for formelen πAB? Man kan ikke bare ta funksjonen direkte slik som ved sirkel?