Hei, jeg sliter virkelig med å løse følgende diff. likning:
[tex]xy'+3y=3[/tex]
Ifølge Wolframalpha er dette en første ordens diff. likning, noe jeg også tenkte, men jeg ser ikke helt hva jeg skal gjøre videre....
Førsteordens diff. likning
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
pit
Her er begynnelsen på det du må gjøre:
[tex]\mu= 3/x[/tex]
[tex]y^{'} + (3/x)y = 5/x <=> e^{\int \mu dx}y^{'} + e^{\int \mu dx}(3/x)y = (5/x)e^{\int \mu dx} <=> (e^{\int \mu dx}y)^{'} = 5/x <=> \int (e^{\int \mu dx}y)^{'} dx = \int 5/x dx[/tex]
Tenk på hvorfor dette stemmer.
[tex]\mu= 3/x[/tex]
[tex]y^{'} + (3/x)y = 5/x <=> e^{\int \mu dx}y^{'} + e^{\int \mu dx}(3/x)y = (5/x)e^{\int \mu dx} <=> (e^{\int \mu dx}y)^{'} = 5/x <=> \int (e^{\int \mu dx}y)^{'} dx = \int 5/x dx[/tex]
Tenk på hvorfor dette stemmer.
-
Guest
retter....
[tex]y^{'} + (3/x)y = 3/x <=> e^{\int \mu dx}y^{'} + e^{\int \mu dx}(3/x)y = (3/x)e^{\int \mu dx} <=> (e^{\int \mu dx}y)^{'} = 3/x <=> \int (e^{\int \mu dx}y)^{'} dx = \int 3/x dx[/tex]
[tex]y^{'} + (3/x)y = 3/x <=> e^{\int \mu dx}y^{'} + e^{\int \mu dx}(3/x)y = (3/x)e^{\int \mu dx} <=> (e^{\int \mu dx}y)^{'} = 3/x <=> \int (e^{\int \mu dx}y)^{'} dx = \int 3/x dx[/tex]
-
Dolandyret
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Gjest wrote:Hei, jeg sliter virkelig med å løse følgende diff. likning:
[tex]xy'+3y=3[/tex]
Ifølge Wolframalpha er dette en første ordens diff. likning, noe jeg også tenkte, men jeg ser ikke helt hva jeg skal gjøre videre....
Den går an å løse som en førsteordens differensiallikning, men jeg ville nok gjort som Pit og heller løst den med integrerende faktor.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
La oss se generelt på diff.ligninger av type [tex]y' + \alpha(x)y + \beta(x) = 0[/tex]
La oss tenke oss at y er et produkt av to andre funksjoner av x, [tex]y = u(x)\cdot v(x)[/tex]
Da er [tex]y' = u'v + v'u[/tex]
Setter disse inn i den originale ligningen og får:
[tex]u'v + v'u + \alpha uv + \beta = 0[/tex]
Skriver om og får:
[tex]uv' + (u'+\alpha u)v + \beta = 0[/tex]
Hvis vi ser på leddet [tex](u'+\alpha u)v[/tex] og tenker oss at det er lik 0, så får vi at:
[tex]uv' + \beta = 0[/tex], som gir [tex]v = -\int \frac{\beta}{u} dx[/tex]. Dette er et integral vi ofte kan løse.
La oss derfor sørge for at [tex](u'+\alpha u)v = 0[/tex].
Det kan vi gjøre ved å la [tex]u' = - \alpha u[/tex], som gir [tex]\frac{u'}{u} = -\alpha[/tex]
Denne kan vi integrere, og vi får: [tex]u = e^{-\int \alpha dx}[/tex]
Siden vi har u så kan vi finne v også som et integral, fra integralet lenger oppe:
[tex]v = -\int \frac{\beta}{e^{-\int \alpha dx}} dx[/tex]
Vi har da integraler som kan gi oss både u og v. Multipliserer vi disse så får vi y:
[tex]y = e^{-\int \alpha dx} \cdot -\int \frac{\beta}{e^{-\int \alpha dx}}dx[/tex]
Dette bør derfor være en løsning for diff.ligningen.
Oppgaven i denne tråden er [tex]y' + \frac{3}{x}y - \frac{3}{x} = 0[/tex]
Dette betyr at: [tex]\alpha(x) = \frac{3}{x}[/tex] og [tex]\beta(x) = -\frac{3}{x}[/tex]
La oss regne ut [tex]-\int \alpha dx[/tex]. Det gir [tex]-3\int \frac{1}{x}dx = -3ln(x) + c[/tex]
[tex]e^{-\int \alpha dx}[/tex] blir derfor: [tex]e^{-3ln(x)+c} = c\cdot \frac{1}{x^3}[/tex]. Merk at siste c egentlig er [tex]e^c[/tex], men det er en konstant uansett, så vi kaller den bare c.
Setter dette inn i uttrykket for y:
[tex]y = c\cdot \frac{1}{x^3}\cdot -\int \frac{-\frac{3}{x}}{c\cdot \frac{1}{x^3}} dx = \frac{3}{x^3}\int x^2 dx = \frac{3}{x^3}\cdot (\frac{1}{3}x^3+c) = 1+\frac{3c}{x^3}[/tex]
Vi har altså en løsning. La oss sjekke om den stemmer:
[tex]y' = 3c\cdot (x^{-3})' = -9cx^{-4}[/tex]
Setter inn denne y og y' og får:
[tex]-9cx^{-4} + \frac{3}{x}(1+ \frac{3c}{x^3}) - \frac{3}{x} = -9cx^{-4}+\frac{3}{x}+9cx^{-4} - \frac{3}{x} = 0[/tex]
Ser derfor ut som at løsningen var riktig
La oss tenke oss at y er et produkt av to andre funksjoner av x, [tex]y = u(x)\cdot v(x)[/tex]
Da er [tex]y' = u'v + v'u[/tex]
Setter disse inn i den originale ligningen og får:
[tex]u'v + v'u + \alpha uv + \beta = 0[/tex]
Skriver om og får:
[tex]uv' + (u'+\alpha u)v + \beta = 0[/tex]
Hvis vi ser på leddet [tex](u'+\alpha u)v[/tex] og tenker oss at det er lik 0, så får vi at:
[tex]uv' + \beta = 0[/tex], som gir [tex]v = -\int \frac{\beta}{u} dx[/tex]. Dette er et integral vi ofte kan løse.
La oss derfor sørge for at [tex](u'+\alpha u)v = 0[/tex].
Det kan vi gjøre ved å la [tex]u' = - \alpha u[/tex], som gir [tex]\frac{u'}{u} = -\alpha[/tex]
Denne kan vi integrere, og vi får: [tex]u = e^{-\int \alpha dx}[/tex]
Siden vi har u så kan vi finne v også som et integral, fra integralet lenger oppe:
[tex]v = -\int \frac{\beta}{e^{-\int \alpha dx}} dx[/tex]
Vi har da integraler som kan gi oss både u og v. Multipliserer vi disse så får vi y:
[tex]y = e^{-\int \alpha dx} \cdot -\int \frac{\beta}{e^{-\int \alpha dx}}dx[/tex]
Dette bør derfor være en løsning for diff.ligningen.
Oppgaven i denne tråden er [tex]y' + \frac{3}{x}y - \frac{3}{x} = 0[/tex]
Dette betyr at: [tex]\alpha(x) = \frac{3}{x}[/tex] og [tex]\beta(x) = -\frac{3}{x}[/tex]
La oss regne ut [tex]-\int \alpha dx[/tex]. Det gir [tex]-3\int \frac{1}{x}dx = -3ln(x) + c[/tex]
[tex]e^{-\int \alpha dx}[/tex] blir derfor: [tex]e^{-3ln(x)+c} = c\cdot \frac{1}{x^3}[/tex]. Merk at siste c egentlig er [tex]e^c[/tex], men det er en konstant uansett, så vi kaller den bare c.
Setter dette inn i uttrykket for y:
[tex]y = c\cdot \frac{1}{x^3}\cdot -\int \frac{-\frac{3}{x}}{c\cdot \frac{1}{x^3}} dx = \frac{3}{x^3}\int x^2 dx = \frac{3}{x^3}\cdot (\frac{1}{3}x^3+c) = 1+\frac{3c}{x^3}[/tex]
Vi har altså en løsning. La oss sjekke om den stemmer:
[tex]y' = 3c\cdot (x^{-3})' = -9cx^{-4}[/tex]
Setter inn denne y og y' og får:
[tex]-9cx^{-4} + \frac{3}{x}(1+ \frac{3c}{x^3}) - \frac{3}{x} = -9cx^{-4}+\frac{3}{x}+9cx^{-4} - \frac{3}{x} = 0[/tex]
Ser derfor ut som at løsningen var riktig