Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Hei!
Kan noen forklare meg hva det vil si at en estimator er forventningsrett uten å bruke ulike definisjoner? Jeg har jo tilgang til definisjonene og tror jeg forstår 70 % (ja, tydeligvis kan jeg oppgi forståelsen min i %)...
Om noen har forstått hva forventningsrett vil si og kanskje en eller annen gang har fått en aha-opplevelse rundt dette, håper jeg at denne noen kan prøve å videreformidle det.
Det betyr at forventningsverdien til estimatoren er lik det man forsøker å estimere. Vi har da det man på engelsk kaller en unbiased estimator.
[tex]<\hat{\theta}> = \theta[/tex]
Et godt eksempel er hvis man prøver å estimere en populasjonsvarianse, [tex]\sigma^2[/tex], ut i fra stikkprøver.
Vi har at gjennomsnittet for stikkprøven (sample mean) er gitt ved:
[tex]\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i[/tex]
og en estimator for populasjonsvariansen er gitt ved:
[tex]s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X - \bar{X})^2[/tex]
Dette er ikke en forventningsrett estimator for [tex]\sigma^2[/tex].
Det kan vi se fordi:
[tex]E[s^2] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X-\bar{X})^2)] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n((X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu))^2] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 - 2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu) + (\bar{X}-\mu)^2] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X-\mu)^2 - (\bar{X}-\mu)^2] = \sigma^2 - E[(\bar{X}-\mu)^2][/tex]
Resultatet [tex]\sigma^2 - E[(\bar{X}-\mu)^2][/tex] er altså mindre enn [tex]\sigma^2[/tex], så forventningsverdien til [tex]s^2[/tex] er ikke det samme som [tex]\sigma^2[/tex]. Estimatoren er dermed ikke forventningsrett.
Følgende estimator er en forventningsrett estimator av populasjonsvariansen:
[tex]s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X-\bar{X})^2[/tex]
