Kvotientkropp og integritetsområde

[Janhaa]

Kan noen hjelpe meg med denne:

Hvorfor er [tex]\,\mathbb{Q}[\omega]\,[/tex] isomorf med kvotientkroppen til integritetsområdet
[tex]\mathbb{Z}[\omega]= \{a + b \omega +c \omega^2| a, b, c \in \mathbb{Z}\}[/tex].
der
[tex]\omega = \large e^{\frac{2i \pi}{3}}[/tex]

[Fibonacci92]

Dette er ment som et intuitivt argument:

Kvotientkroppen til et integritetsområde A er vel den "minste" kroppen som har A som en underring. Hvordan kan vi finne kvotientkroppen? Merk at dersom $\mathbb{Z}$ er en underring av en kroppen, da må kroppen inneholde alle de multiplikative inversene til elementer i $\mathbb{Z}$, men dette medfører at kroppen må inneholde $\mathbb{Q}$.

I tillegg må $\omega$ være inneholdt i kroppen din. Altså må kroppen din minst inneholde $\mathbb{Q}[\omega]$, og fra tidligere oppgaver vet du vel at dette faktisk er en kropp.

[Janhaa]

Dette er ment som et intuitivt argument:
Kvotientkroppen til et integritetsområde A er vel den "minste" kroppen som har A som en underring. Hvordan kan vi finne kvotientkroppen? Merk at dersom $\mathbb{Z}$ er en underring av en kroppen, da må kroppen inneholde alle de multiplikative inversene til elementer i $\mathbb{Z}$, men dette medfører at kroppen må inneholde $\mathbb{Q}$.
I tillegg må $\omega$ være inneholdt i kroppen din. Altså må kroppen din minst inneholde $\mathbb{Q}[\omega]$, og fra tidligere oppgaver vet du vel at dette faktisk er en kropp.

takker, tenkte litt rundt subring, men sliter med forklaringen...

[Gustav]

Kan noen hjelpe meg med denne:

Hvorfor er [tex]\,\mathbb{Q}[\omega]\,[/tex] isomorf med kvotientkroppen til integritetsområdet
[tex]\mathbb{Z}[\omega]= \{a + b \omega +c \omega^2| a, b, c \in \mathbb{Z}\}[/tex].
der
[tex]\omega = \large e^{\frac{2i \pi}{3}}[/tex]

Det er nok å vise at $\mathbb{Z}[\omega]\subseteq \mathbb{Q}[\omega]\subseteq Quot(\mathbb{Z}[\omega])$: Den første inklusjonen er åpenbar. For den andre, la $p+q\omega+r\omega^2\in \mathbb{Q}[\omega]$. Da er det jo lett å skrive om dette på formen $\frac{a+b\omega+c\omega^2}{d}$ for $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$. Dermed er $p+q\omega+r\omega^2\in Quot(\mathbb{Z}[\omega])$. Siden $Quot(\mathbb{Z}[\omega])$ per definisjon er den minste kroppen som inneholder $\mathbb{Z}[\omega]$, og $\mathbb{Q}[\omega]$ er en kropp, så følger det at $Quot(\mathbb{Z}[\omega])\simeq \mathbb{Q}[\omega]$

[Janhaa]

Kan noen hjelpe meg med denne:
Hvorfor er [tex]\,\mathbb{Q}[\omega]\,[/tex] isomorf med kvotientkroppen til integritetsområdet
[tex]\mathbb{Z}[\omega]= \{a + b \omega +c \omega^2| a, b, c \in \mathbb{Z}\}[/tex].
der[tex]\omega = \large e^{\frac{2i \pi}{3}}[/tex]

Det er nok å vise at $\mathbb{Z}[\omega]\subseteq \mathbb{Q}[\omega]\subseteq Quot(\mathbb{Z}[\omega])$: Den første inklusjonen er åpenbar. For den andre, la $p+q\omega+r\omega^2\in \mathbb{Q}[\omega]$. Da er det jo lett å skrive om dette på formen $\frac{a+b\omega+c\omega^2}{d}$ for $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$. Dermed er $p+q\omega+r\omega^2\in Quot(\mathbb{Z}[\omega])$. Siden $Quot(\mathbb{Z}[\omega])$ per definisjon er den minste kroppen som inneholder $\mathbb{Z}[\omega]$, og $\mathbb{Q}[\omega]$ er en kropp, så følger det at $Quot(\mathbb{Z}[\omega])\simeq \mathbb{Q}[\omega]$

hadde ikke sett skrive-måten, [tex]\,Quot(\mathbb{Z}[\omega])\,[/tex]som er den minste kroppen som...
takk igjen plutarco!

[Gustav]

For et integritetsområde R brukes både Frak(R) og Quot(R). Begrepet "field of fractions" er vel mest vanlig såvidt jeg vet. Ihvertfall det som brukes i mye av standardlitteraturen.

[Fibonacci92]

En kommentar:

Jeg ser at vi i oppgavene som vi har gjennomgått bruker $\{1,\omega, \omega^2\}$ som en genererende mengde, men det er vel mindre misvisende å faktisk bruke $\{1,\omega\}$ i og med at $\mathbb{Z}[\omega]$ er en fri gruppe på 2 generatorer, og $\mathbb{Q}[\omega]$ er et 2-dimensjonalt vektorrom over $\mathbb{Q}$.

Grunnen til at det ble som det ble er vel at $\omega^3-1 = 0$ er brukt som relasjon, men vi burde egentlig se på relasjonen $\omega^2+\omega+1 = 0$, siden $x^2+x+1$ ( og ikke $x^3-1$) er minimalpolynomet til $\omega$ over $\mathbb{Q}$.

[Janhaa]

En kommentar:
Jeg ser at vi i oppgavene som vi har gjennomgått bruker $\{1,\omega, \omega^2\}$ som en genererende mengde, men det er vel mindre misvisende å faktisk bruke $\{1,\omega\}$ i og med at $\mathbb{Z}[\omega]$ er en fri gruppe på 2 generatorer, og $\mathbb{Q}[\omega]$ er et 2-dimensjonalt vektorrom over $\mathbb{Q}$.
Grunnen til at det ble som det ble er vel at $\omega^3-1 = 0$ er brukt som relasjon, men vi burde egentlig se på relasjonen $\omega^2+\omega+1 = 0$, siden $x^2+x+1$ ( og ikke $x^3-1$) er minimalpolynomet til $\omega$ over $\mathbb{Q}$.

OK, dette var en følge-oppgave der:

[tex]f=x^2+x+1[/tex]
og
[tex]\omega = \large e^{\frac{2\pi i}{3}}[/tex]
der
[tex]\omega^3=1[/tex]

[pit]

Janhaa, hvilke bok kommer oppgaven fra?

Min bok var veldig lat på ha den type oppgave i oppgave samlingen

[Janhaa]

Janhaa, hvilke bok kommer oppgaven fra?
Min bok var veldig lat på ha den type oppgave i oppgave samlingen

Litt variert trur eg, læreboka er Fraleigh.
Trur lærer'n har flere andre bøker på lur å :=)