Induksjonsbevis

[stimorolextra]

Hvordan kan jeg vise at [tex]s_{n}=\frac{1}{3}n*(n+1)(n+2)[/tex] stemmer?
Det går fint å sette n=1 og n=k, men når jeg skal sette n=k+1 går alt i surr og ingenting stemmer

Noen som vil vise meg hvordan de løser denne?

[stimorolextra]

Hvordan kan jeg vise at [tex]s_{n}=\frac{1}{3}n*(n+1)(n+2)[/tex] stemmer?
Det går fint å sette n=1 og n=k, men når jeg skal sette n=k+1 går alt i surr og ingenting stemmer

Noen som vil vise meg hvordan de løser denne?

Glemte å si at jeg har oppgitt [tex]S_{n}=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Vi ønsker å vise at

$ \hspace{1cm}
1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n \cdot (n+1 ) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
$

holder for alle naturlige tall.

1) Ønsker å vise at formelen stemmer for det første leddet $n = 1$

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\text{ VS } & = 1 \cdot (1+1) \cdot (1 + 2) / 3 = 2 \\
\text{ HS } & = 1 \cdot 2 = 2
\end{align*}
$
Siden VS = HS stemmer formelen for n = 1.

2) Anta så at formelen holder for en tilfeldig $k$ altså $n = k$.

$ \hspace{1cm}
1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n \cdot (n+1 ) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
$

3) Ønsker å vise at dersom den holder for $n = k$ medfører dette at formelen holder for $n = k + 1$. Begynner med å forenkle høyre side

$ \hspace{1cm}
\text{HS} = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3) = \frac{1}{3}( k^3 + 6k^2 + 11k + 6 )
$

Tilsvarende har vi

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\text{VS}
& = 1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k \cdot (k+1) + (k+1)\cdot(k+2) \\
& = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)\cdot (k+2) \\
& = \frac{1}{3}[ k(k+1)(k+2) + 3(k+1)\cdot (k+2)] \\
& = \frac{1}{3}( k^3 + 6k^2 + 11k + 6 )
\end{align*}
$

Siden VS = HS følger det av induksjon at formelen holder for alle naturlige n. Det går ann å vise at HS = VS raskere, men da må en være flinkere i algebra.

$
\begin{align*}
\text{VS}
& = \frac{1}{3}k \color{blue}{(k+1) (k+2)} + \color{blue}{(k+1) (k+2)} \\
& = \left( \frac{1}{3}k + 1\right) \color{blue}{(k+1) (k+2)} \\
& = \frac{1}{3}(k+3)(k+1)(k+2)
\end{align*}
$

Som er helt likt HS.

[stimorolextra]

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\text{VS}
& = 1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k \cdot (k+1) + (k+1)\cdot(k+2) \\
& = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)\cdot (k+2) \\
& = \frac{1}{3}[ k(k+1)(k+2) + 3(k+1)\cdot (k+2)] \\
& = \frac{1}{3}( k^3 + 6k^2 + 11k + 6 )
\end{align*}
$

Tusen takk! Hvordan klarte du å gjøre det siste der såpass enkelt? Har fått høre at jeg ikke bør gange ut, men i steden faktorisere (noe jeg ikke fikk til i dette tilfellet). Når jeg skal gange ut så tar det så fryktelig lang tid...

[Dolandyret]

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\text{VS}
& = 1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k \cdot (k+1) + (k+1)\cdot(k+2) \\
& = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)\cdot (k+2) \\
& = \frac{1}{3}[ k(k+1)(k+2) + 3(k+1)\cdot (k+2)] \\
& = \frac{1}{3}( k^3 + 6k^2 + 11k + 6 )
\end{align*}
$

Tusen takk! Hvordan klarte du å gjøre det siste der såpass enkelt? Har fått høre at jeg ikke bør gange ut, men i steden faktorisere (noe jeg ikke fikk til i dette tilfellet). Når jeg skal gange ut så tar det så fryktelig lang tid...

Den siste der er jo ganske grei, om du mener [tex](\frac{1}{3}k+1)=\frac13(k+3)[/tex]. Du trekker [tex]\frac13[/tex] ut av begge leddene. [tex]1/\frac13=3[/tex]