Isometrier

[Janhaa]

La G være gruppen av alle plane isometrier og la N være undergruppen til G som består av translasjoner og rotasjoner.

Jeg skal således forklare hvorfor N er normal i G.

Start:

antar da [tex]\,g, g^{-1} \in G\,[/tex]og [tex]\,g, g^{-1}\notin N\,[/tex]
der g er en speiling eller en glidespeiling. Antar videre at [tex]\,h, h^{-1} \in N\,[/tex]
der h er en rotasjon eller en translasjon.
Da vil [tex]\,g^{-1}h g\,\,[/tex]ligge i N
=> N er normal i G.
Holder dette?

[pit]

Tror det er greit nok, og har aldri sett noen annen form for løsning.

Har en alternativ løsning på lageret, men har ikke tenkt så mye på den:

[tex]D_{\infty } \simeq[/tex] {[tex]\rho[/tex], [tex]\tau[/tex]}

Hvis [tex]D_{\infty } \triangleleft G[/tex]

må det finnes en kanonisk homomorfisme:

[tex]\mu: G\rightarrow G/D_{\infty }[/tex]

Så hvis man klarte å hvise en slik homomorfisme, vil jeg tro man kunne ha vist dette alternativt, selv om det er langt
fra nødvendig. Holder med det du har gjort

[Janhaa]

Tror det er greit nok, og har aldri sett noen annen form for løsning.
Har en alternativ løsning på lageret, men har ikke tenkt så mye på den:
[tex]D_{\infty } \simeq[/tex] {[tex]\rho[/tex], [tex]\tau[/tex]}
Hvis [tex]D_{\infty } \triangleleft G[/tex]
må det finnes en kanonisk homomorfisme:
[tex]\mu: G\rightarrow G/D_{\infty }[/tex]
Så hvis man klarte å hvise en slik homomorfisme, vil jeg tro man kunne ha vist dette alternativt, selv om det er langt
fra nødvendig. Holder med det du har gjort

takk for bidraget ditt, fint å se flere forslag!

[Gustav]

La G være gruppen av alle plane isometrier og la N være undergruppen til G som består av translasjoner og rotasjoner.

Jeg skal således forklare hvorfor N er normal i G.

Start:

antar da [tex]\,g, g^{-1} \in G\,[/tex]og [tex]\,g, g^{-1}\notin N\,[/tex]
der g er en speiling eller en glidespeiling. Antar videre at [tex]\,h, h^{-1} \in N\,[/tex]
der h er en rotasjon eller en translasjon.
Da vil [tex]\,g^{-1}h g\,\,[/tex]ligge i N
=> N er normal i G.
Holder dette?

Det eneste du har gjort her er jo å gjenfortelle definisjonen av en normal undergruppe, så dette holder ikke som bevis.

Det er sikkert flere måter å vise dette på, men her er en måte, som jeg tror skal være riktig:

Mengden av rotasjoner og translasjoner består av alle jevne isometrier(komposisjon av partallig antall refleksjoner), mens refleksjoner og gliderefleksjoner alltid kan skrives som et odde antall refleksjoner.

N er en undergruppe av G: For $h_1$ og $h_2$ i N består begge av et like antall refleksjoner, så komposisjonen $h_1h_2$ består av et like antall refleksjoner, og mengden er lukket. Det er klart at ethvert element i N har en invers i N, ved komposisjon (de inverse refleksjonene i motsatt rekkefølge). Identiteten består av komposisjonen av en refleksjon og dens inverse.

N er normal: La $h\in N$ og $g\in G$. Da er der klart at $g^{-1}hg$ består av et partallig antall refleksjoner (odde+like+odde=like, og like+like+like=like), så dermed er $g^{-1}hg\in N$.

Det følger at N er en normal undergruppe i G.

[Janhaa]

La G være gruppen av alle plane isometrier og la N være undergruppen til G som består av translasjoner og rotasjoner.
Det eneste du har gjort her er jo å gjenfortelle definisjonen av en normal undergruppe, så dette holder ikke som bevis.
Det er sikkert flere måter å vise dette på, men her er en måte, som jeg tror skal være riktig:
Mengden av rotasjoner og translasjoner består av alle jevne isometrier(komposisjon av partallig antall refleksjoner), mens refleksjoner og gliderefleksjoner alltid kan skrives som et odde antall refleksjoner.
N er en undergruppe av G: For $h_1$ og $h_2$ i N består begge av et like antall refleksjoner, så komposisjonen $h_1h_2$ bestå av et like antall refleksjoner, og mengden er lukket. Det er klart at ethvert element i N har en invers i N, ved komposisjon (de inverse refleksjonene i motsatt rekkefølge). Identiteten består av komposisjonen av en refleksjon og dens inverse.
N er normal: La $h\in N$ og $g\in G$. Da er der klart at $g^{-1}hg$ består av et partallig antall refleksjoner (odde+like+odde=like, og like+like+like=like), så dermed er $g^{-1}hg\in N$.Det følger at N er en normal undergruppe i G.

OK, håpa det holdt, men var redd det ble litt generelt og tynt ja...
akk ja...skal titte nøye gjennom forklaringa di...

danke, noch einmal