Sum og største verdi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Guest

Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!
Top
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

Antar man kan gjøre det på måte i)

[tex]b=35-a-c[/tex]
så sette
[tex]f(a, c) = a(35-a-c)^2c^3[/tex]
og partiellderivere mhp hhc a og c:
[tex]\partial f / \partial a = 0[/tex]
og
[tex]\partial f / \partial c = 0[/tex]

eller evt
ii)
vha
AM-GM ulikhet
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Top
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Posts: 1264
Joined: 04/10-2015 22:21

Gjest wrote:Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!
Funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] har sitt maksimum når [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex].

Generelt gitt denne typen flervariabel funksjon så er fremgangsmåten slik for å finne dens maksimale verdi:
1) Gitt en definisjonsmengde del summen på antall faktorer i funksjonen. Her har vi [tex]a*b*b*c*c*c[/tex], altså 6 faktorer. Derfor: [tex]\frac{35}{6}[/tex].
2) For at en flervariabel funksjon skal nå sin maksimale verdi må alle faktorer i funksjonen inneholde denne faktoren selv. For maksimal verdi er hver faktor i funksjonen et produkt av denne faktoren ([tex]\frac{35}6[/tex]) og sin eksponent.

Derfor vil funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] ha den maksimale verdien: [tex](1*\frac{35}6)^1*(2*\frac{35}6)^2*(3*\frac{35}6)^3[/tex]
Last edited by Dolandyret on 14/04-2016 13:08, edited 1 time in total.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Top
Guest

Dolandyret wrote:
Gjest wrote:Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!
Funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] har sitt maksimum når [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex].

Generelt gitt denne typen flervariabel funksjon så er fremgangsmåten slik for å finne dens maksimale verdi:
1) Gitt en definisjonsmengde del summen på antall faktorer i funksjonen. Her har vi [tex]a*b*b*c*c*c[/tex], altså 6 faktorer. Derfor: [tex]\frac{35}{6}[/tex].
2) For at en flervariabel funksjon skal nå sin maksimale verdi må alle faktorer i funksjonen inneholde denne faktoren selv. For maksimal verdi er hver faktor i funksjonen et produkt av denne faktoren ([tex]\frac{35}6[/tex]) og sin eksponent.

Derfor vil funksjonen [tex]ab^2c^3[/tex] nå sin maksimale verdi når: [tex](1*\frac{35}6)^1*(2*\frac{35}6)^2*(3*\frac{35}6)^3[/tex]
Hvordan kom du frem til akkurat at [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex], altså partiellderiverte du på noen måte?


Svaret ble rett da jeg løste det endelige likningssettet.
Top
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Posts: 1264
Joined: 04/10-2015 22:21

Gjest wrote:
Hvordan kom du frem til akkurat at [tex]b=2a[/tex] og [tex]c=3a[/tex], altså partiellderiverte du på noen måte?


Svaret ble rett da jeg løste det endelige likningssettet.
Er nok stygt redd for at jeg ikke kan være til stor hjelp der. Går vg3, og lærer vel ikke om partiell-derivering før enn på høyskole/universitet. Jeg vet ikke hvorfor flervariable funksjoner har sitt maksimum når f.eks.: [tex]ab^4c^8=a(4a)^4(8a)^8[/tex], det var bare noe jeg fant ut av ved en tilfeldighet en eller annen gang.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Top
pit

En har generelt kritisk punkt når tangent vektoren er parallell med normal vektoren til funksjonen. I dette tilfellet er det enkelt da det vi faktisk har en invers i utrykket for randen, og at utrykket ikke er komplisert (kan da bare substituere og partielle derivere som Janhaa har gjort).

Noen ganger så har vi ikke invers eller utrykket er for vanskelig, så da ønsker en å finne hvor normal vektoren "figuren" som representerer randen skal være parallell med normal vektoren til funksjonen en jobber med på en annen måte, fordi dette er de eneste punktene selve funksjonen en optimerer har et kritisk punkt (tenk vanlig funksjon)... dette er lagranges metode.

Husk at rand verdiene må sjekkes seperat, dvs når x = 35, y = 35 eller z = 35, og at singulære punkt må sjekkes seperat.
Top
pit

En har generelt kritisk punkt når tangent vektoren er ortogonal med normal vektoren til funksjonen. I dette tilfellet er det enkelt da det vi faktisk har en invers i utrykket for randen, og at utrykket ikke er komplisert (kan da bare substituere og partielle derivere som Janhaa har gjort).

Noen ganger så har vi ikke invers eller utrykket er for vanskelig, så da ønsker en å finne hvor normal vektoren "figuren" som representerer randen skal være parallell med normal vektoren til funksjonen en jobber med på en annen måte, fordi dette er de eneste punktene selve funksjonen en optimerer har et kritisk punkt (tenk vanlig funksjon)... dette er lagranges metode.

Husk at rand verdiene må sjekkes seperat, dvs når x = 35, y = 35 eller z = 35, og at singulære punkt må sjekkes seperat
Top
Guest

pit wrote:En har generelt kritisk punkt når tangent vektoren er ortogonal med normal vektoren til funksjonen. I dette tilfellet er det enkelt da det vi faktisk har en invers i utrykket for randen, og at utrykket ikke er komplisert (kan da bare substituere og partielle derivere som Janhaa har gjort).

Noen ganger så har vi ikke invers eller utrykket er for vanskelig, så da ønsker en å finne hvor normal vektoren "figuren" som representerer randen skal være parallell med normal vektoren til funksjonen en jobber med på en annen måte, fordi dette er de eneste punktene selve funksjonen en optimerer har et kritisk punkt (tenk vanlig funksjon)... dette er lagranges metode.

Husk at rand verdiene må sjekkes seperat, dvs når x = 35, y = 35 eller z = 35, og at singulære punkt må sjekkes seperat
Jeg gjorde det Janhaa skrev opp, og prøvde å løse de to likningssettene jeg får ved å sette de to part.deriverte lik 0, mhp. a og c. Men jeg kommer ikke frem til det riktige svaret som Dolandyret har postet, altså at b = 2a og c = 3a, og at maksverdien er 35/6. :(
Top
Guest

Jeg kommer ingen vei, men jeg fant jo dette:

[tex]\frac{df}{da}=c^3(a+c-35)(3a+c-35)[/tex]=0

[tex]\frac{df}{dc}=ac^2(3a+5c-105)(a+c-35)[/tex]=0

Fra den første får jeg:

[tex]a+c-35=0[/tex] og [tex]3a+c-35=0[/tex]

Løser jeg dette, så får jeg at [tex]a=0,c=35[/tex]

Fra den andre deriverte får jeg:

[tex]3a+5c-105=0[/tex] og [tex]a+c-35=0[/tex]

Denne gir meg a = 35 og c =0. Nå forstår jeg ingenting, hva gjør jeg feil?
Jeg har forresten ikke glemt den tredje faktoren, men den gir vel at a = 0 eller c = 0 i begge de deriverte.
Top
Audunss89

Gjest wrote:Hei!
Jeg holder på med følgende oppgave:

Finn de tre verdiene [tex]a,b,c[/tex], med sum lik 35 slik at uttrykket [tex]ab^2c^3[/tex] er maksimalt.

Jeg ser virkelig ikke hvordan jeg skal klare å angripe denne oppgaven. Greit, så hva kan jeg lese ut av teksten? Jo:

[tex]a+b+c=35[/tex]

Men så gjelder det å uttrykke det slik at det produktet blir maksimalt. Det klarer jeg virkelig ikke å se hvordan jeg skal gjøre det.
Tusen takk på forhånd!
Er det ingen flere begrensninger, slik som at a,b,c>0?

Slik som det er nå kan man ved å velge c=35, og a=-b, få uttrykket til å gå mot uendelig ved å la [tex]b \to - \infty[/tex]
Top
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

Gjest wrote:Jeg kommer ingen vei, men jeg fant jo dette:
[tex]\frac{df}{da}=c^3(a+c-35)(3a+c-35)[/tex]=0
[tex]\frac{df}{dc}=ac^2(3a+5c-105)(a+c-35)[/tex]=0
Fra den første får jeg:
[tex]a+c-35=0[/tex] og [tex]3a+c-35=0[/tex]
Løser jeg dette, så får jeg at [tex]a=0,c=35[/tex]
Fra den andre deriverte får jeg:
[tex]3a+5c-105=0[/tex] og [tex]a+c-35=0[/tex]
Denne gir meg a = 35 og c =0. Nå forstår jeg ingenting, hva gjør jeg feil?
Jeg har forresten ikke glemt den tredje faktoren, men den gir vel at a = 0 eller c = 0 i begge de deriverte.
[tex]\partial{f}/\partial{a} = 0[/tex]
som gir:
[tex]35=3a+c[/tex]
og
[tex]\partial{f}/\partial{c} = 0[/tex]
som gir:
[tex]105=3a+5c[/tex]
disse to likningen gir deg:
[tex]a=35/6[/tex]
og
[tex]b=35/3[/tex]
og
[tex]c=35/2[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Top
Post Reply

Return to “Høyskole og universitet”