Matriselikning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du oppgir ikke noe ligning, så jeg regner med du spør generelt. Antar at du med opphøyd i T mener den transponerte.
La oss gå ut i fra en tilfeldig ligning,f.eks.:
[tex]B + (X+A)^T = C[/tex]
Du lurer på hvordan vi får [tex](X+T)^T[/tex]-leddet over på andre siden av likhetstegnet.
Siden operasjonen addisjon av matriser er kommutativ så kan du bare trekke fra leddet på begge sider av likhetstegnet:
[tex]B = C - (X+A)^T[/tex]
Hvis operasjonen ikke hadde vært kommutativ, så hadde det vært forskjell på å trekke leddet fra på høyresiden i forhold til på venstresiden, dvs.
[tex]-(X+A)^T + B + (X+A)^T = -(X+A)^T + C[/tex]
hadde ikke vært lik
[tex]B + (X+A)^T - (X+A)^T = B = C - (X+A)^T[/tex]
La oss gå ut i fra en tilfeldig ligning,f.eks.:
[tex]B + (X+A)^T = C[/tex]
Du lurer på hvordan vi får [tex](X+T)^T[/tex]-leddet over på andre siden av likhetstegnet.
Siden operasjonen addisjon av matriser er kommutativ så kan du bare trekke fra leddet på begge sider av likhetstegnet:
[tex]B = C - (X+A)^T[/tex]
Hvis operasjonen ikke hadde vært kommutativ, så hadde det vært forskjell på å trekke leddet fra på høyresiden i forhold til på venstresiden, dvs.
[tex]-(X+A)^T + B + (X+A)^T = -(X+A)^T + C[/tex]
hadde ikke vært lik
[tex]B + (X+A)^T - (X+A)^T = B = C - (X+A)^T[/tex]
Hvis vi vil finne X i samme ligning, så kan vi først utføre transponeringen:
[tex](B+(X+A)^T = C) \Rightarrow B + X^T + A^T = C[/tex]
Deretter kan vi trekke fra [tex]B[/tex] og [tex]A^T[/tex] på begge sidene:
[tex]X^T = C - B - A^T[/tex]
Deretter kan vi transponere begge sidene:
[tex]X = C^T - B^T - A[/tex]
[tex](B+(X+A)^T = C) \Rightarrow B + X^T + A^T = C[/tex]
Deretter kan vi trekke fra [tex]B[/tex] og [tex]A^T[/tex] på begge sidene:
[tex]X^T = C - B - A^T[/tex]
Deretter kan vi transponere begge sidene:
[tex]X = C^T - B^T - A[/tex]
-
Guest
Ja, mente i å finne X. Takk for hjelpa.sbra wrote:Hvis vi vil finne X i samme ligning, så kan vi først utføre transponeringen:
[tex](B+(X+A)^T = C) \Rightarrow B + X^T + A^T = C[/tex]
Deretter kan vi trekke fra [tex]B[/tex] og [tex]A^T[/tex] på begge sidene:
[tex]X^T = C - B - A^T[/tex]
Deretter kan vi transponere begge sidene:
[tex]X = C^T - B^T - A[/tex]
Jeg så på et eksempel på at man snudde en (A^-T)^-1 til (A^-1)^T. Har du en forklaring hvorfor man kan gjøre en slik vending?
Vi kan vise at [tex](A^{-1})^T = (A^T)^{-1}[/tex]
Det kan vi gjøre ved å multiplisere [tex]A^T[/tex] på høyre siden av hver av dem. Vi får da:
[tex](A^{-1})^TA^T = (AA^{-1})^T = I^T = I[/tex]
og
[tex](A^T)^{-1}A^T = I[/tex]
Siden [tex](A^T)^{-1}[/tex] og [tex](A^{-1})^T[/tex] har samme invers, så medfører dette at disse er like, [tex](A^{-1})^T = (A^T)^{-1}[/tex]
Det kan vi gjøre ved å multiplisere [tex]A^T[/tex] på høyre siden av hver av dem. Vi får da:
[tex](A^{-1})^TA^T = (AA^{-1})^T = I^T = I[/tex]
og
[tex](A^T)^{-1}A^T = I[/tex]
Siden [tex](A^T)^{-1}[/tex] og [tex](A^{-1})^T[/tex] har samme invers, så medfører dette at disse er like, [tex](A^{-1})^T = (A^T)^{-1}[/tex]