Hvordan løser man:
y´= (4x+2) + 2*y ?
-skal 4x+2 stå på høyre side, siden det inneholder x?
-I så fall, hvordan integrerer man (4xy * e^2x) dx ?
Differensiallikninger R2
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Om det Harry Potter skrev var litt uklart, så skal det her brukes integrerende faktor.hmmm wrote:Hvordan løser man:
y´= (4x+2) + 2*y ?
-skal 4x+2 stå på høyre side, siden det inneholder x?
-I så fall, hvordan integrerer man (4xy * e^2x) dx ?
[tex]y'=(4x+2)+2y \Leftrightarrow y'-2y=(4x+2)[/tex]
Integrerende faktor: [tex]e^{\int(-2)dx}=e^{-2x}[/tex]
[tex]y'e^{-2x}-2ye^{-2x}=(4x+2)e^{-2x}[/tex]
Omvendt produktregel gir:
[tex](ye^{-2x})'=(4x+2)e^{-2x}[/tex]
Integrerer:
[tex]ye^{-2x}=\int((4x+2)e^{-2x})dx[/tex]
Får:
[tex]ye^{-2x}=-2xe^{-2x}-2e^{-2x}+C[/tex]
Isoler y:
[tex]y=-2x-2+Ce^{2x}=-2(x+1)+Ce^{2x}[/tex]
Edit: Ordnet opp i slurv.
Last edited by Dolandyret on 21/04-2016 21:59, edited 4 times in total.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Det ble ikke helt rett, Dolandyret.
Som både Dolandyret og HarryPotter er inne på så er løsningen å benytte en integrerende faktor.
Ideen er at [tex](ye^{r(x)})' = y'e^{r(x)}+ye^{r(x)}r'(x)[/tex]
Hvis vi ganger [tex]e^{r(x)}[/tex] i alle ledd i den originale ligningen får vi:
[tex]y'e^{r(x)} - 2ye^{r(x)} = (4x + 2)e^{r(x)}[/tex]
Ved sammenligning av disse to ser vi at [tex]r'(x) = -2[/tex]. Dette medfører at [tex]e^{r(x)} = c_0e^{-2x}[/tex]
Ligningen blir kan derfor skrives som:
[tex](ye^{-2x})' = (4x+2)e^{-2x}[/tex]
Merk at [tex]c_0[/tex] forsvinner siden den er med på begge sidene av likhetstegnet.
Integrerer vi begge sidene får vi:
[tex]ye^{-2x} = \int (4x+2)e^{-2x} = -2xe^{-2x}-2e^{-2x}+c[/tex]
Deler så på [tex]e^{-2x}[/tex] på begge sidene slik at vi får svaret: [tex]y = -2x -2 + ce^{2x}[/tex]
Som både Dolandyret og HarryPotter er inne på så er løsningen å benytte en integrerende faktor.
Ideen er at [tex](ye^{r(x)})' = y'e^{r(x)}+ye^{r(x)}r'(x)[/tex]
Hvis vi ganger [tex]e^{r(x)}[/tex] i alle ledd i den originale ligningen får vi:
[tex]y'e^{r(x)} - 2ye^{r(x)} = (4x + 2)e^{r(x)}[/tex]
Ved sammenligning av disse to ser vi at [tex]r'(x) = -2[/tex]. Dette medfører at [tex]e^{r(x)} = c_0e^{-2x}[/tex]
Ligningen blir kan derfor skrives som:
[tex](ye^{-2x})' = (4x+2)e^{-2x}[/tex]
Merk at [tex]c_0[/tex] forsvinner siden den er med på begge sidene av likhetstegnet.
Integrerer vi begge sidene får vi:
[tex]ye^{-2x} = \int (4x+2)e^{-2x} = -2xe^{-2x}-2e^{-2x}+c[/tex]
Deler så på [tex]e^{-2x}[/tex] på begge sidene slik at vi får svaret: [tex]y = -2x -2 + ce^{2x}[/tex]
-
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Takk, ser det nå. Gikk nok litt fort i svingene.. Glemte av et fortegn 

"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."