Differensiallikninger R2

[hmmm]

Hvordan løser man:

y´= (4x+2) + 2*y ?

-skal 4x+2 stå på høyre side, siden det inneholder x?
-I så fall, hvordan integrerer man (4xy * e^2x) dx ?

[HarryPotter]

skriv som

y'-2y=(4x+2)
y'*e^-2x-2*e^-2x=(4x+2)*e^-2x
(y*e^-2x)'=(4x+2)*e^-2x

[Dolandyret]

Hvordan løser man:

y´= (4x+2) + 2*y ?

-skal 4x+2 stå på høyre side, siden det inneholder x?
-I så fall, hvordan integrerer man (4xy * e^2x) dx ?

Om det Harry Potter skrev var litt uklart, så skal det her brukes integrerende faktor.

[tex]y'=(4x+2)+2y \Leftrightarrow y'-2y=(4x+2)[/tex]

Integrerende faktor: [tex]e^{\int(-2)dx}=e^{-2x}[/tex]

[tex]y'e^{-2x}-2ye^{-2x}=(4x+2)e^{-2x}[/tex]

Omvendt produktregel gir:

[tex](ye^{-2x})'=(4x+2)e^{-2x}[/tex]

Integrerer:
[tex]ye^{-2x}=\int((4x+2)e^{-2x})dx[/tex]

Får:

[tex]ye^{-2x}=-2xe^{-2x}-2e^{-2x}+C[/tex]

Isoler y:

[tex]y=-2x-2+Ce^{2x}=-2(x+1)+Ce^{2x}[/tex]

Edit: Ordnet opp i slurv.

[sbra]

Det ble ikke helt rett, Dolandyret.

Som både Dolandyret og HarryPotter er inne på så er løsningen å benytte en integrerende faktor.

Ideen er at [tex](ye^{r(x)})' = y'e^{r(x)}+ye^{r(x)}r'(x)[/tex]

Hvis vi ganger [tex]e^{r(x)}[/tex] i alle ledd i den originale ligningen får vi:
[tex]y'e^{r(x)} - 2ye^{r(x)} = (4x + 2)e^{r(x)}[/tex]

Ved sammenligning av disse to ser vi at [tex]r'(x) = -2[/tex]. Dette medfører at [tex]e^{r(x)} = c_0e^{-2x}[/tex]

Ligningen blir kan derfor skrives som:
[tex](ye^{-2x})' = (4x+2)e^{-2x}[/tex]

Merk at [tex]c_0[/tex] forsvinner siden den er med på begge sidene av likhetstegnet.

Integrerer vi begge sidene får vi:
[tex]ye^{-2x} = \int (4x+2)e^{-2x} = -2xe^{-2x}-2e^{-2x}+c[/tex]

Deler så på [tex]e^{-2x}[/tex] på begge sidene slik at vi får svaret: [tex]y = -2x -2 + ce^{2x}[/tex]

[Dolandyret]

Takk, ser det nå. Gikk nok litt fort i svingene.. Glemte av et fortegn