Vise generelt

[Guest]

Hei! Jeg har to oppgaver, hvor den ene har jeg klart å løse.

Oppgave 1

La [tex]\vec{u}=\begin{bmatrix} 1\\2 \\3 \end{bmatrix}[/tex] , [tex]\vec{v}=\begin{bmatrix} 1\\2 \\4 \end{bmatrix}[/tex]
og [tex]\vec{w}=\begin{bmatrix} 4\\-1 \\-1 \end{bmatrix}[/tex]

Finn en lineærkombinasjon av u og v som er ulik nullvektoren og som er ortogonal
til w.

Jeg gjorde dette slik:

[tex](\lambda \vec{u}+\mu \vec{v})\cdot \vec{w}=0[/tex]

Her har jeg satt opp uttrykket for den lineære kombinasjonen vi skal finne, også prikker jeg den med w, som skal være lik null ettersom den lineære kombinasjonen vi skal finne skal være ortogonal med w. videre krever vi jo at den lineære kombinasjonen er ulik nullvektoren.

Vi observerer videre at:
[tex]\vec{u}\cdot \vec{w}=-1[/tex] og [tex]\vec{v}\cdot \vec{w}=-2[/tex]

Så vi står da igjen med at:

tex](\lambda \vec{u}+\mu \vec{v})\cdot \vec{w}=0[/tex] = [tex](\lambda \vec{u}+\mu \vec{v})\cdot \vec{w}=-\lambda-2\mu =0[/tex]

Så vi kan nå for eksempel velge (av mange muligheter) at [tex]\lambda =2[/tex] og [tex]\mu =-1[/tex]

Og dermed:

[tex]\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}=2\begin{bmatrix} 1\\2 \\3 \end{bmatrix}-1\begin{bmatrix} 1\\2 \\4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2 \\2 \end{bmatrix}[/tex]

Men den andre oppgaven er ganske lik, men gjelder generelt. Den sier:

Gitt ikke-nullvektorene [tex]\vec{u},\vec{v},\vec{w}[/tex] i [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
Vis at det finnes en ikke-null lineær kombinasjon som er ortogonal til [tex]\vec{w}[/tex]
[tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] må være lineært uavhengige.

Tusen takk på forhånd!

[Guest]

Anyone?

[Gustav]

Vi krever at $(a\vec{u}+b\vec{v})\cdot \vec{w}=0$ for reelle $a$ og $b$.

Hvis $\vec{u}$ eller $\vec{v}$ står vinkelrett på $\vec{w}$, fins det åpenbart en slik lineærkombinasjon.

Anta at hverken $\vec{u}$ eller $\vec{v}$ står vinkelrett på $\vec{w}$. Ved å velge $a=\frac{1}{\vec{u}\cdot \vec{w}}$ og $b=-\frac{1}{\vec{v}\cdot \vec{w}}$, ser vi at $(a\vec{u}+b\vec{v})\cdot \vec{w}=(\frac{1}{\vec{u}\cdot \vec{w}}\vec{u}-\frac{1}{\vec{v}\cdot \vec{w}}\vec{v})\cdot \vec{w}=1-1=0$, så dermed fins det en ikketriviell( og ikke-null) lineærkombinasjon av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ som står vinkelrett på $\vec{w}$.

[Guest]

Vi krever at $(a\vec{u}+b\vec{v})\cdot \vec{w}=0$ for reelle $a$ og $b$.

Hvis $\vec{u}$ eller $\vec{v}$ står vinkelrett på $\vec{w}$, fins det åpenbart en slik lineærkombinasjon.

Anta at hverken $\vec{u}$ eller $\vec{v}$ står vinkelrett på $\vec{w}$. Ved å velge $a=\frac{1}{\vec{u}\cdot \vec{w}}$ og $b=-\frac{1}{\vec{v}\cdot \vec{w}}$, ser vi at $(a\vec{u}+b\vec{v})\cdot \vec{w}=(\frac{1}{\vec{u}\cdot \vec{w}}\vec{u}-\frac{1}{\vec{v}\cdot \vec{w}}\vec{v})\cdot \vec{w}=1-1=0$, så dermed fins det en ikketriviell( og ikke-null) lineærkombinasjon av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ som står vinkelrett på $\vec{w}$.

Det der virker som en veldig elegant løsning. Den skal jeg sette meg godt inn i nå. tusen takk!!