Oppgave: y´+ ((2/x)*y) = 6 - (4/(x^2))
Hvordan løser jeg denne?
y * e^(2/x) = (6 * e^(2/x)) - ((4/x^3) *e^(2/x))
riktig? hva videre?
Differensiallikninger R2
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Først, hvor ble det av [tex]y'[/tex] i regnestykket ditt?
Og nei, det der blir nok ikke helt riktig. Integrerende faktor er i denne oppgaven: [tex]e^{\int\frac2xdx}\neq e^{\frac2x}[/tex]
Og nei, det der blir nok ikke helt riktig. Integrerende faktor er i denne oppgaven: [tex]e^{\int\frac2xdx}\neq e^{\frac2x}[/tex]
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
-
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
1. hint: Hva er [tex]e^{\int\frac2xdx}[/tex] ?hmmm wrote:Oi, dette ble helt feil.
Oppgaven er slik:
y´ + (2/x)*y = 6 - (4/(x^3))
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
-
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
Som er det samme som [tex]x^2[/tex]. Prøv å løs den nå med samme måte som vi har vist i tidligere tråder(integrerende faktor).hmmm wrote:e^(2*lnx)
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Jeg kan vise en alternativ løsning ved bruk av operatorteori.
Vi skal altså løse:
[tex]y' + \frac{2}{x}y = 6 - \frac{4}{x^3}[/tex]
Dette kan vi skrive som:
[tex](D + \frac{2}{x})y = 6 - \frac{4}{x^3}[/tex], der [tex]D[/tex] er derivasjonsoperatoren [tex]\frac{d}{dx}[/tex].
Hvis vi kan finne en invers operator til [tex]D + \frac{2}{x}[/tex] så kan vi applisere den på begge sider av likhetstegnet slik at vi får isolert [tex]y[/tex].
Vi kan benytte følgende identitet:
[tex](D-f(x))e^{\int f(x)}\int e^{-\int f(x)}g(x)dx = g(x)[/tex]
Det gir at:
[tex]\frac{g(x)}{D-f(x)} = e^{\int f(x)}\int e^{-\int f(x)}g(x)dx[/tex]
Vi kan benytte dette til å løse ligningen.
Appliserer vi den inverse operatoren på begge sider av likhetstegnet får vi:
[tex]y = x^{-2}\int x^2(6-\frac{4}{x^3}) = x^{-2}(2x^3-4ln(x)+c) = 2x - 4\frac{ln(x)}{x^2} + \frac{c}{x^2}[/tex]
Dette er riktig løsning
Vi skal altså løse:
[tex]y' + \frac{2}{x}y = 6 - \frac{4}{x^3}[/tex]
Dette kan vi skrive som:
[tex](D + \frac{2}{x})y = 6 - \frac{4}{x^3}[/tex], der [tex]D[/tex] er derivasjonsoperatoren [tex]\frac{d}{dx}[/tex].
Hvis vi kan finne en invers operator til [tex]D + \frac{2}{x}[/tex] så kan vi applisere den på begge sider av likhetstegnet slik at vi får isolert [tex]y[/tex].
Vi kan benytte følgende identitet:
[tex](D-f(x))e^{\int f(x)}\int e^{-\int f(x)}g(x)dx = g(x)[/tex]
Det gir at:
[tex]\frac{g(x)}{D-f(x)} = e^{\int f(x)}\int e^{-\int f(x)}g(x)dx[/tex]
Vi kan benytte dette til å løse ligningen.
Appliserer vi den inverse operatoren på begge sider av likhetstegnet får vi:
[tex]y = x^{-2}\int x^2(6-\frac{4}{x^3}) = x^{-2}(2x^3-4ln(x)+c) = 2x - 4\frac{ln(x)}{x^2} + \frac{c}{x^2}[/tex]
Dette er riktig løsning
