Differensiallikninger R2

[hmmm]

Oppgave: y´+ ((2/x)*y) = 6 - (4/(x^2))

Hvordan løser jeg denne?


y * e^(2/x) = (6 * e^(2/x)) - ((4/x^3) *e^(2/x))

riktig? hva videre?

[Dolandyret]

Først, hvor ble det av [tex]y'[/tex] i regnestykket ditt?

Og nei, det der blir nok ikke helt riktig. Integrerende faktor er i denne oppgaven: [tex]e^{\int\frac2xdx}\neq e^{\frac2x}[/tex]

[hmmm]

Oi, dette ble helt feil.

Oppgaven er slik:

y´ + (2/x)*y = 6 - (4/(x^3))

[Dolandyret]

Oi, dette ble helt feil.

Oppgaven er slik:

y´ + (2/x)*y = 6 - (4/(x^3))

1. hint: Hva er [tex]e^{\int\frac2xdx}[/tex] ?

[hmmm]

e^(2*lnx)

[Dolandyret]

e^(2*lnx)

Som er det samme som [tex]x^2[/tex]. Prøv å løs den nå med samme måte som vi har vist i tidligere tråder(integrerende faktor).

[sbra]

Jeg kan vise en alternativ løsning ved bruk av operatorteori.

Vi skal altså løse:
[tex]y' + \frac{2}{x}y = 6 - \frac{4}{x^3}[/tex]

Dette kan vi skrive som:
[tex](D + \frac{2}{x})y = 6 - \frac{4}{x^3}[/tex], der [tex]D[/tex] er derivasjonsoperatoren [tex]\frac{d}{dx}[/tex].

Hvis vi kan finne en invers operator til [tex]D + \frac{2}{x}[/tex] så kan vi applisere den på begge sider av likhetstegnet slik at vi får isolert [tex]y[/tex].

Vi kan benytte følgende identitet:
[tex](D-f(x))e^{\int f(x)}\int e^{-\int f(x)}g(x)dx = g(x)[/tex]

Det gir at:
[tex]\frac{g(x)}{D-f(x)} = e^{\int f(x)}\int e^{-\int f(x)}g(x)dx[/tex]

Vi kan benytte dette til å løse ligningen.

Appliserer vi den inverse operatoren på begge sider av likhetstegnet får vi:
[tex]y = x^{-2}\int x^2(6-\frac{4}{x^3}) = x^{-2}(2x^3-4ln(x)+c) = 2x - 4\frac{ln(x)}{x^2} + \frac{c}{x^2}[/tex]

Dette er riktig løsning