Først så vil jeg bare si at induksjon ikke er i nærheten av å være den enkleste metoden å bruke her, se for eksempel
\[\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac14\right)\dotsb\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\dotsb\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n+1}\]
hvor hver teller strykes med forrige nevner (som i $\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\frac{\cancel{2}}{3}$), slik at vi står igjen med $\frac{1}{n+1}$.
Alternativt kan vi bruke induksjon. Det venstresiden forteller oss, er at vi skal gange sammen ledd på formen $\left(1-\frac12\right),\left(1-\frac13\right), \left(1-\frac14\right)$ osv, helt til vi kommer til $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$. Vi starter med $\left(1-\frac12\right)$, og øker tallet i nevneren for hvert ledd helt til vi kommer til $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$. La oss prøve dette når $n=3$:
Vi starter med $\left(1-\frac12\right)$, og skal slutte når vi kommer til $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$, og siden $n=3$, skal vi altså stoppe når vi kommer til $\left(1-\frac14\right)$. Derfor er høyresiden lik $\left(1-\frac12\right)\cdot\left(1-\frac13\right)\cdot\left(1-\frac14\right)$ når $n=3$. Enig?
Men hva skjer så når $n=1$? Da skal vi som over starte med leddet $\left(1-\frac12\right)$, og stoppe når vi kommer til leddet $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdot$, men når $n=1$ er dette siste leddet også $\left(1-\frac12\right)\cdot$, det samme som leddet vi startet med! Så når $n=1$ blir høyresiden bare $\left(1-\frac12\right)\cdot$. Det ser kanskje ut som vi hopper over leddet $\left(1-\frac1n\right)\cdot$, og ja, vi gjør forsåvidt det: når $n$ er så liten som $1$, så får vi ikke nok ledd med på høyresiden til at vi kan ha det med. (Gir det mening? Hvis ikke så er det bare si ifra, så skal jeg prøve å utdype litt til
).
