Finne laplacetransformasjon

[hauge1]

Hei! står fast på en oppgave der jeg skal bruke en tabell til å finne laplacetransformasjonen til en funksjon. Funksjonen er cos(2t-(pi/3)).

Finner ingenting som passer i tabellen og kommer heller ikke på noen logisk omforming av funksjonen. Sikkert enkelt for de som kan det Setter stor pris på hjelp.

[Nebuchadnezzar]

Enkleste er nok å bruke sum formelen for cosinus: $\cos(A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ =)

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\mathcal{L}
& = \int_0^\infty \cos(2t-\frac{\pi}{3}) \cdot e^{-s t} \,\mathrm{d}t \\
& = \int_0^\infty \left[ \cos 2t \cos \frac{\pi}{3} + \sin 2t \sin \frac{\pi}{3} \right] \cdot e^{-s t} \,\mathrm{d}t \\
& = \frac{1}{2} \int_0^\infty \cos 2t \cdot e^{-st} \,\mathrm{d}t + \frac{\sqrt{3}}{2} \int_0^\infty \sin 2t \cdot e^{-st} \,\mathrm{d}t \\
\end{align*}
$
Herfra kan du enten regne ut integralene eller ta de fra tabell.

[hauge1]

Takk for svar!

I oppgaven stod det at tabell skulle brukes og derfor velger jeg å ikke sette det inn i definisjonen og regne ut. Omformingen du gjorde på linje 2 hjalp veldig, burde vel sitte det også

[Nebuchadnezzar]

Alternativ kan du bruke $\cos (2t - \frac{\pi}{3} ) = \text{Re} \left( e^{i \left( 2t - \pi/3\right)} \right)$. Laplace transformasjonen av $e^{ix}$ burde vel stå i tabellen. Er ikke en enklere metode fordi du må ta realdelen av svaret ditt, og dette krever noe regning.

[Aleks855]

Kan vel bruke at for $f(t) = \cos(at + b)$ så vil $F(s) = \frac{s\cos(b) - a\sin(b)}{s^2 + a^2}$