Permutasjoner

[hjelp123456789]

vet ikke helt hva jeg skal gjøre på disse oppgavene, kan noen forklare?
"Fem venner er ute på byen.
1) De går på restaurant og setter seg rundt et bord med plass til fem personer. Hvor mange rekkefølger får vi nå?
2) Eva og Marie vil alltid sitte ved siden av hverandre rundt bordet. Hvor mange ulike plasseringer får vi nå?"

[Latsabben]

Det første spørsmålet er ganske standard. Istedet for at de sitter rundt et bord, kan det være lettere å tenke at de sitter på rekke, svaret blir det samme.
Fem forskjellige jenter kan sitte på den første plassen. Når den første plassen er besatt, vil en av de fire andre jentene sitte på plass nummer to. En av de tre jentene som da er igjen skal sitte på den tredje, så to på den fjerde og den siste på den femte plassen. Antall mulige rekkefølger blir da 5x4x3x2x1 = 120. Lag et valgtre hvis det er vanskelig å følge forklaringen.

Det andre spørsmålet er litt mer uvanlig. Tenk deg at de sitter rundt bordet, ikke på rekke, og at du er Eva. Uansett hvordan dere sitter, må Marie sitte på plassen til venstre for deg eller på plassen til høyre for deg, og ikke på noen av de to resterende plassene. Altså er to plasser gunstige og to er ugunstige i forhold til deg, dvs. at i 120/2 av de mulige plasseringene sitter Eva og Marie ved siden av hverandre.

[Guest]

Det første spørsmålet er ganske standard. Istedet for at de sitter rundt et bord, kan det være lettere å tenke at de sitter på rekke, svaret blir det samme.
Fem forskjellige jenter kan sitte på den første plassen. Når den første plassen er besatt, vil en av de fire andre jentene sitte på plass nummer to. En av de tre jentene som da er igjen skal sitte på den tredje, så to på den fjerde og den siste på den femte plassen. Antall mulige rekkefølger blir da 5x4x3x2x1 = 120. Lag et valgtre hvis det er vanskelig å følge forklaringen.

Det andre spørsmålet er litt mer uvanlig. Tenk deg at de sitter rundt bordet, ikke på rekke, og at du er Eva. Uansett hvordan dere sitter, må Marie sitte på plassen til venstre for deg eller på plassen til høyre for deg, og ikke på noen av de to resterende plassene. Altså er to plasser gunstige og to er ugunstige i forhold til deg, dvs. at i 120/2 av de mulige plasseringene sitter Eva og Marie ved siden av hverandre.

Men i fasiten er 1) 24 og 2) 12?

[Drezky]

Det første spørsmålet er ganske standard. Istedet for at de sitter rundt et bord, kan det være lettere å tenke at de sitter på rekke, svaret blir det samme.
Fem forskjellige jenter kan sitte på den første plassen. Når den første plassen er besatt, vil en av de fire andre jentene sitte på plass nummer to. En av de tre jentene som da er igjen skal sitte på den tredje, så to på den fjerde og den siste på den femte plassen. Antall mulige rekkefølger blir da 5x4x3x2x1 = 120. Lag et valgtre hvis det er vanskelig å følge forklaringen.

Det andre spørsmålet er litt mer uvanlig. Tenk deg at de sitter rundt bordet, ikke på rekke, og at du er Eva. Uansett hvordan dere sitter, må Marie sitte på plassen til venstre for deg eller på plassen til høyre for deg, og ikke på noen av de to resterende plassene. Altså er to plasser gunstige og to er ugunstige i forhold til deg, dvs. at i 120/2 av de mulige plasseringene sitter Eva og Marie ved siden av hverandre.

Men i fasiten er 1) 24 og 2) 12?

a)

Tror det er feil i fasiten? skal jo være 5 fakultet... Iallefall mener jeg at oppgaven dårlig formulert
[tex]4!=24[/tex]



Eller muligens er det et sirkulært bord? Da gir det mening at antall måter er lik: [tex]Antall\:måter=\:(5-1)!=4!=24[/tex]

fordi ABCDE= BCDEA
b)

Marie = M
Eva= E

[tex]x_1=annen[/tex]
[tex]x_2=annen[/tex]
[tex]x_3=annen[/tex]

ME[tex]x_1[/tex][tex]x_2[/tex][tex]x_3[/tex]
[tex]x_1[/tex]ME[tex]x_2[/tex][tex]x_3[/tex]
[tex]x_1[/tex][tex]x_3[/tex][tex]x_2[/tex]ME
[tex]x_1[/tex][tex]x_3[/tex]ME[tex]x_2[/tex]
[tex]x_2[/tex][tex]x_1[/tex]ME[tex]x_3[/tex]
osv...

12 stk --> 3!*!2=12

[Fysikkmann97]

1) De går på restaurant og setter seg rundt et bord med plass til fem personer. Hvor mange rekkefølger får vi nå?

[Guest]

Det første spørsmålet er ganske standard. Istedet for at de sitter rundt et bord, kan det være lettere å tenke at de sitter på rekke, svaret blir det samme.
Fem forskjellige jenter kan sitte på den første plassen. Når den første plassen er besatt, vil en av de fire andre jentene sitte på plass nummer to. En av de tre jentene som da er igjen skal sitte på den tredje, så to på den fjerde og den siste på den femte plassen. Antall mulige rekkefølger blir da 5x4x3x2x1 = 120. Lag et valgtre hvis det er vanskelig å følge forklaringen.

Det andre spørsmålet er litt mer uvanlig. Tenk deg at de sitter rundt bordet, ikke på rekke, og at du er Eva. Uansett hvordan dere sitter, må Marie sitte på plassen til venstre for deg eller på plassen til høyre for deg, og ikke på noen av de to resterende plassene. Altså er to plasser gunstige og to er ugunstige i forhold til deg, dvs. at i 120/2 av de mulige plasseringene sitter Eva og Marie ved siden av hverandre.

Men i fasiten er 1) 24 og 2) 12?

a)

Tror det er feil i fasiten? skal jo være 5 fakultet... Iallefall mener jeg at oppgaven dårlig formulert
[tex]4!=24[/tex]



Eller muligens er det et sirkulært bord? Da gir det mening at antall måter er lik: [tex]Antall\:måter=\:(5-1)!=4!=24[/tex]

fordi ABCDE= BCDEA
b)

Marie = M
Eva= E

[tex]x_1=annen[/tex]
[tex]x_2=annen[/tex]
[tex]x_3=annen[/tex]

ME[tex]x_1[/tex][tex]x_2[/tex][tex]x_3[/tex]
[tex]x_1[/tex]ME[tex]x_2[/tex][tex]x_3[/tex]
[tex]x_1[/tex][tex]x_3[/tex][tex]x_2[/tex]ME
[tex]x_1[/tex][tex]x_3[/tex]ME[tex]x_2[/tex]
[tex]x_2[/tex][tex]x_1[/tex]ME[tex]x_3[/tex]
osv...

12 stk --> 3!*!2=12

Hvorfor tok du (5-1)! i den første oppgaven?

[Drezky]

En permutasjon er en slags ordning av en delmengde av alle element i en mengde.

De at disse 5 vennene sitter seg rundt et bord tyder at det er et sirkelformet -bord.

Et teorem sier at :

n element kan ordnes i rekkefølge i en sirkel på
[tex](n-1)!=(n-1)...2*1\:måter[/tex] - kjent som sirkulær permutasjon

Dette er også logisk:

Kall vennene dine A, B, C, D, E . Totalt: 5 venner

Hvis vennene sitter langs et bord (dvs. 5 sitteplasser med 5 personer ved siden av hverandre) er det klart [tex]5!=120[/tex] måter. Men hvis de sitter rundt et bord, teller en rotasjon fremdeles på samme måte av alle sitteplasser.. Vi legger merke til at det er 5 aktuelle rotasjoner --> pga. 5 stoler. Slik at vi fordeler resultatet av at de sitter langs et bord i 7 mulige grupper:

[tex]\frac{5!}{5}[/tex]

[tex]\frac{5!}{5}=4!=(5-1)![/tex]

HUSK AT :

kombinasjonene ABCDE er lik BCDEA fordi AE = sitter ved siden av hverandre.


Tenk deg et scenario der vi plasserer disse vennene. Første mann kan bare ordnes på 1 måte (siden hver stilling vurderes samme hvis ingen er allerede sitter på noen av setene), også, fordi det er helt vilkårlige seter. Så plasserer vi det resterende vennene og antar at disse blir plasset på en rett linje ettersom det kun eksisterer 1 fast startpunkt og sluttpunkt. MAO til venstre eller høyre for første mann. Når vi allerde har plassert den første personen [tex](5-1)=4[/tex] personene på [tex](5-1)![/tex] måter (vanlig permutasjonsfordeling)

[Guest]

En permutasjon er en slags ordning av en delmengde av alle element i en mengde.

De at disse 5 vennene sitter seg rundt et bord tyder at det er et sirkelformet -bord.

Et teorem sier at :

n element kan ordnes i rekkefølge i en sirkel på
[tex](n-1)!=(n-1)...2*1\:måter[/tex] - kjent som sirkulær permutasjon

Dette er også logisk:

Kall vennene dine A, B, C, D, E . Totalt: 5 venner

Hvis vennene sitter langs et bord (dvs. 5 sitteplasser med 5 personer ved siden av hverandre) er det klart [tex]5!=120[/tex] måter. Men hvis de sitter rundt et bord, teller en rotasjon fremdeles på samme måte av alle sitteplasser.. Vi legger merke til at det er 5 aktuelle rotasjoner --> pga. 5 stoler. Slik at vi fordeler resultatet av at de sitter langs et bord i 7 mulige grupper:

[tex]\frac{5!}{5}[/tex]

[tex]\frac{5!}{5}=4!=(5-1)![/tex]

HUSK AT :

kombinasjonene ABCDE er lik BCDEA fordi AE = sitter ved siden av hverandre.


Tenk deg et scenario der vi plasserer disse vennene. Første mann kan bare ordnes på 1 måte (siden hver stilling vurderes samme hvis ingen er allerede sitter på noen av setene), også, fordi det er helt vilkårlige seter. Så plasserer vi det resterende vennene og antar at disse blir plasset på en rett linje ettersom det kun eksisterer 1 fast startpunkt og sluttpunkt. MAO til venstre eller høyre for første mann. Når vi allerde har plassert den første personen [tex](5-1)=4[/tex] personene på [tex](5-1)![/tex] måter (vanlig permutasjonsfordeling)

Hmm, men hva er egentlig forskjellen på [tex]\frac{5!}{5}[/tex] og [tex]\frac{5!}[/tex] da?

[Drezky]

En permutasjon er en slags ordning av en delmengde av alle element i en mengde.

De at disse 5 vennene sitter seg rundt et bord tyder at det er et sirkelformet -bord.

Et teorem sier at :

n element kan ordnes i rekkefølge i en sirkel på
[tex](n-1)!=(n-1)...2*1\:måter[/tex] - kjent som sirkulær permutasjon

Dette er også logisk:

Kall vennene dine A, B, C, D, E . Totalt: 5 venner

Hvis vennene sitter langs et bord (dvs. 5 sitteplasser med 5 personer ved siden av hverandre) er det klart [tex]5!=120[/tex] måter. Men hvis de sitter rundt et bord, teller en rotasjon fremdeles på samme måte av alle sitteplasser.. Vi legger merke til at det er 5 aktuelle rotasjoner --> pga. 5 stoler. Slik at vi fordeler resultatet av at de sitter langs et bord i 7 mulige grupper:

[tex]\frac{5!}{5}[/tex]

[tex]\frac{5!}{5}=4!=(5-1)![/tex]

HUSK AT :

kombinasjonene ABCDE er lik BCDEA fordi AE = sitter ved siden av hverandre.


Tenk deg et scenario der vi plasserer disse vennene. Første mann kan bare ordnes på 1 måte (siden hver stilling vurderes samme hvis ingen er allerede sitter på noen av setene), også, fordi det er helt vilkårlige seter. Så plasserer vi det resterende vennene og antar at disse blir plasset på en rett linje ettersom det kun eksisterer 1 fast startpunkt og sluttpunkt. MAO til venstre eller høyre for første mann. Når vi allerde har plassert den første personen [tex](5-1)=4[/tex] personene på [tex](5-1)![/tex] måter (vanlig permutasjonsfordeling)

Hmm, men hva er egentlig forskjellen på [tex]\frac{5!}{5}[/tex] og [tex]\frac{5!}[/tex] da?

[tex]\frac{5!}{5}\neq5![/tex]

fordi:
[tex]\frac{5!}{5}=\frac{5*4*3*2*1}{5}=4!=24[/tex]
og [tex]5!=5*4*3*2*1=120[/tex]

Så: [tex]24\neq\:120[/tex]

[Guest]

En permutasjon er en slags ordning av en delmengde av alle element i en mengde.

De at disse 5 vennene sitter seg rundt et bord tyder at det er et sirkelformet -bord.

Et teorem sier at :

n element kan ordnes i rekkefølge i en sirkel på
[tex](n-1)!=(n-1)...2*1\:måter[/tex] - kjent som sirkulær permutasjon

Dette er også logisk:

Kall vennene dine A, B, C, D, E . Totalt: 5 venner

Hvis vennene sitter langs et bord (dvs. 5 sitteplasser med 5 personer ved siden av hverandre) er det klart [tex]5!=120[/tex] måter. Men hvis de sitter rundt et bord, teller en rotasjon fremdeles på samme måte av alle sitteplasser.. Vi legger merke til at det er 5 aktuelle rotasjoner --> pga. 5 stoler. Slik at vi fordeler resultatet av at de sitter langs et bord i 7 mulige grupper:

[tex]\frac{5!}{5}[/tex]

[tex]\frac{5!}{5}=4!=(5-1)![/tex]

HUSK AT :

kombinasjonene ABCDE er lik BCDEA fordi AE = sitter ved siden av hverandre.


Tenk deg et scenario der vi plasserer disse vennene. Første mann kan bare ordnes på 1 måte (siden hver stilling vurderes samme hvis ingen er allerede sitter på noen av setene), også, fordi det er helt vilkårlige seter. Så plasserer vi det resterende vennene og antar at disse blir plasset på en rett linje ettersom det kun eksisterer 1 fast startpunkt og sluttpunkt. MAO til venstre eller høyre for første mann. Når vi allerde har plassert den første personen [tex](5-1)=4[/tex] personene på [tex](5-1)![/tex] måter (vanlig permutasjonsfordeling)

Hmm, men hva er egentlig forskjellen på [tex]\frac{5!}{5}[/tex] og [tex]\frac{5!}[/tex] da?

[tex]\frac{5!}{5}\neq5![/tex]

fordi:
[tex]\frac{5!}{5}=\frac{5*4*3*2*1}{5}=4!=24[/tex]
og [tex]5!=5*4*3*2*1=120[/tex]

Så: [tex]24\neq\:120[/tex]

Men hva betyr det? Skjønner 5!, og at det er forskjellige måter de kan sitte på. Men hva med [tex]\frac{5!}{5}[/tex] da? Skal man bruke det når det er rundt et bord? Også den andre på en benk eller noe?