Rekker til besvær. Noen gode ressurser? Løsningsforslag?

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg har eksamen om en måned (lineær algebra, flervariabel analyse og rekker). Har noenlunde kontroll på de to første, men sliter fælt med rekker, sannsynligvis en kombinasjon av at jeg opplever det både som vanskelig, men også fordi jeg ikke har hatt anledning til å jobbe nok med faget.

Dette er da på kalkulusnivå og det går mye i å sjekke for konvergens/divergens med de ulike testene som finnes.

Jeg lærer best av gode eksempler, men læreboken er typisk veldig tynn og uten mange av disse. I tillegg er fasit på både eksamensoppgaver og i boken svært korte, slik at jeg ikke alltid skjønner hva som blir gjort. Resultatet er at jeg sitter altfor lenge og grubler på hver enkelt oppgave. Jada. Det er kanskje slik man lærer best, men jeg har rett og slett ikke tid nå. En god karakter på eksamen er det viktigste, selv om det skulle innebære å lære fremgangsmåter på bekostning av forståelse.

Så, det jeg tror hadde hjulpet meg var litt mer komplette løsningsforslag og eksempler. Er det noen som har tips om noe slikt? Er villig til å betale for en bok om nødvendig.

På forhånd takk!

[Johan Nes]

Anyone?

Jeg vet det har vært ulike meninger rundt dette, men jeg opplever det som frustrerende når løsningsforslaget er begrenset til en kort linje slik at man ikke kan vite sikkert om man har gjort rett eller ikke.

Avgjør om følgende rekke divergerer:

[tex]\sum_{1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3})[/tex]

Kan jeg her summere parentesen i rekken? Slik:

[tex]\sum_{1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3})=\sum_{1}^{\infty}(\frac{n^2+1}{n^3})\approx \sum_{1}^{\infty}(\frac{1}{n})[/tex]

Som jo er den harmoniske rekken og en vi vet divergerer?

Så sammenligne (?) den opprinnelige rekken med denne?

Fasit sier kort: "Divergerer ved sammenlikningstesten da den harmoniske rekken divergerer."

[Gustav]

Det er enklere enn som så. $\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}$ er opplagt større enn $\frac{1}{n}$. Siden $\sum \frac{1}{n}=\infty$, må derfor $\sum \frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}>\sum \frac{1}{n}=\infty$ være uendelig, og derfor divergere.

[Johan Nes]

Så enkelt, Plutarco?

Men rekken skal vel ligne på form også? Men det gjør den kanskje? Tror ikke du tar feil altså, men at jeg trenger å få dette inn med teskje. Det var derfor jeg trakk sammen uttrykket og forkortet.

Slenger med en lignende rekke.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n^2+n})[/tex]

Som jo er mindre enn [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] og dermed konvergent etter sammenligningstesten.

Men det kunne jeg kanskje sett direkte uten noen algebra samme som den forrige?

Kunne sikkert også brukt integraltesten.

Tusen takk for hjelpen!

[Nebuchadnezzar]

Du kan for eksempel skriveut et par ledd forå å se at rekken er teleskoperende (google det begrepet om du ikke kjenner til det)

$ \hspace{1cm}
\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{1+k} = 1 - \frac{1}{1 + n}
$

Rekker i likhet med de fleste andre temaer handler i langt større grad om modenhet og forståelse enn formler og pugging. Det å kunne lese og forstå matematiske tekster er ikke noe som kommer naturlig (spesielt ikke for ingeniører), men noe som er essensielt for å henge med på universitetet. Står dessverre i kontrast til hvorda mye av undervisningen på vgs har foregått.

Enkleste av tester er nok forholdsstesten

$ \hspace{1cm}
\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{4} < 1
$

Men igjen å bruke slike mekanisk føles unaturlig... Bare putte inn i formler å håpe at det funker..

Tror jeg brukte litt denne for mange herrens år siden http://www.math.hawaii.edu/~ralph/Class ... vTests.pdf. Bare å skrive ut å henge på veggen.

folk.uib.no/st00895/MAT112.../konvergenstester.pdf

[Johan Nes]

Svarene deres er satt pris på. Takk!

Jeg har gått gjort en del oppgaver siden sist og føler at forståelsen har økt i den forbindelse. Selv liker jeg alltid å lese gjennom teorien, følge eksemplene med egne mellomregninger og prøve å forstå så godt jeg kan, men det er alltid oppgaveløsning som er brobygger med teori og forståelse, føler jeg.

Rekker i likhet med de fleste andre temaer handler i langt større grad om modenhet og forståelse enn formler og pugging. Det å kunne lese og forstå matematiske tekster er ikke noe som kommer naturlig (spesielt ikke for ingeniører), men noe som er essensielt for å henge med på universitetet. Står dessverre i kontrast til hvorda mye av undervisningen på vgs har foregått.

Du har nok rett i det. Jeg liker IKKE når jeg er i den posisjon at jeg bare følger en algoritmisk fremgangsmåte uten å forstå, men har innsett at ofte er jeg faktisk nødt til det. Husk også at du har en mastergrad i matematikk og er over gjennomsnittlig interessert i matematikk, mens jeg tar nå mitt andre rene matematikkfag på høyskole.

Men slik matematikkstudiet er lagt opp som ingeniør, så føler jeg at vi aldri kan få noen dyp forståelse uansett, så sant man ikke jobber meget mye på fritiden. Jeg opplever at pensum rett og slett spenner for bredt og vi får ikke nok dybde på hvert enkelt tema. I tillegg er det en svakhet ved vårt løp at man har et helt semester "matematikkfri" før man fortsetter på Matematikk 2000. Tror også det er en viss forskjell på ingeniør på høyskolenivå og NTNU, som er langt mer teoretisk og antageligvis med mer matematisk tyngde.

Vi har bare 2 obligatoriske matematikkfag. 3 om vi skal ta master. Selve studiehverdagen vår er gjennomsyret av beregninger, men det er forholdsvis enkel aritmetikk og går mer på forståelse. Vi gjør (så langt) ikke særlig avanserte matematiske beregninger i programfagene, selv om det sikkert ligger avansert matematikk til grunns.

Hva mener du med siste kommentar vedr. undervisning på VGS? Mener du at det er noe galt med dagens opplegg? For lite fokus på forståelse til fordel for formler?

[Gustav]

, men det er alltid oppgaveløsning som er brobygger med teori og forståelse, føler jeg.

Helt enig i dette utsagnet. Den eneste måten å lære seg faget er gjennom oppgaveløsing. Den dypere forståelsen kommer gjerne etter at man har sittet i timesvis og grublet over den samme, vanskelige, oppgaven. Det er nytteløst å kun sitte å lese seg til forståelse i faget.

[Johan Nes]

, men det er alltid oppgaveløsning som er brobygger med teori og forståelse, føler jeg.

Helt enig i dette utsagnet. Den eneste måten å lære seg faget er gjennom oppgaveløsing. Den dypere forståelsen kommer gjerne etter at man har sittet i timesvis og grublet over den samme, vanskelige, oppgaven. Det er nytteløst å kun sitte å lese seg til forståelse i faget.

Men hva tenker du om å først lese gjennom teorien og gjerne ta notater samt følge og regne gjennom eksemplene?

Oppgaveløsning er nok viktigst, ja, men samtidig føler jeg det blir litt feil for min del å gå rett på oppgaver. Men jeg vet at flere i klassen min driver på slik. Rett på oppgaver --> Slå opp i boken.

[Gustav]

Jeg ville vel lest gjennom først, uten å fokusere alt for mye på beviser, for så å begynne med oppgavene. Og til slutt gått gjennom bevisene grundig.