Taylorpolynomer/rekker.Potensrekker.Maclaurinrekker.Hjelp?

[Johan Nes]

Hei alle,

Vi hadde Taylorpolynomer i matematikk 1000 og selv om det var noe av det jeg opplevde som vanskelig, så gikk det greit. Nå er det Taylorrekker, potensrekker, Maclaurinrekker og jeg føler meg helt fortapt. Satt en hel dag i går uten å få til en eneste oppgave, så i dag er jeg nødt å spørre om hjelp.

Oppgave 1:

Finn Mclaurinrekken til funksjonen gitt ved [tex]f(x)=\frac{e^x-1}{x}+x^2[/tex]

Fasit: [tex]\frac{e^x-1}{x}+x^2=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-1}{x}+x^2 =1+\frac{x}{2}+\frac{7}{6}x^2+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}[/tex]

Oppgave 2:

Finn Maclaurinrekken til funksjonen gitt ved

[tex]f(x)=x^2e^x+x[/tex]

Fasit: [tex]x^2e^x+x=x^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}+x=x+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}[/tex]

Dette er altså eksamensoppgaver og ikke en innlevering som jeg forventer at dere skal gjøre for meg.

Pussig nok følte jeg at jeg forsto litt mer når jeg texet ut dette, men det er fortsatt ikke klart for meg. Definitivt ikke. Så om noen har en teskje og kan prøve å forklare meg hva som foregår her, så hadde jeg satt stor pris på det!

Har nå letet opp Lindstrøms Kalkulus og tenkte å lese meg gjennom stoffet der i mellomtiden.

EDIT: Jeg måtte texe opp igjen oppgave 1. Hadde gjort en liten feil når jeg skrev av fasit.

[Nebuchadnezzar]

Kortså er tanken at taylorpolynomer tilnærmer funksjoner så godt de kan ved hjelp av polynomer. Eksempelvis så er taylorpolynomet til $x^2$ bare $x^2$. Fordi det beste polynomet som kan tilnærme $x^2$ er faktisk $x^2$.. En annen taylorrekke du sikkert er godt kjent med er den for $e^x$, altså $\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

Videre så kan taylorpolynomet betraktes som en linærtransformasjon (skyt meg om jeg husker feil her) slik at $T(a+b) = T(a) + T(b)$.

[Gustav]

Eksempel: La $f(x)=e^x$. Si at vi skal finne Taylorrekka til f(x) i punktet x=0.

Den konstantfunksjonen (polynom av grad 0) som ligner mest på f(x) i en omegn om x=0, må nødvendigvis være $p_0(x)=1$.

Videre, se på polynomer av grad 1, $p_1(x)=a+bx$. Hva må a og b være for at dette skal ligne mest mulig på $e^x$ i nærheten av x=0 ? Svar: Hvis vi krever at $p_1(0)=f(0)$, så må $a=e^0=1$. Hvis vi i tillegg krever at $p_1'(x)=f'(x)$, så må $b=e^0=1$. Så $p(x)=1+x$ er det polynomet av grad 1 som ligner mest på $e^x$ i nærheten av x=0.

La oss videre se på polynomer av grad 2, $p_2(x)=a+bx+cx^2$. Hvis vi krever at $p_2(0)=f(0)$, må $a=1$. $p_2'(0)=f'(0)$ gir at b=1, og $p_2''(0)=f''(0)$ gir at $c=\frac12$.

Fortsett vi slik i det uendelige får Taylorrekka til $e^x$ i $x=0$.

[Johan Nes]

Nebuchadnezzar og Plutarco,

Svarene deres er satt pris på.

Heldigvis har jeg forstått såpass at Taylorpolynomer tilnærmer seg en funksjon i og rundt et punkt x = a. Og jo høyere graden, jo bedre tilnærmingen.

Jeg greier også å utlede eller finne Taylor-polynomet til [tex]e^x[/tex] for punktet [tex]0[/tex], så jeg skjønner utledningen din, Plutarco.

Har lest grundig gjennom Kalkulus siden sist og føler tilnærmingen er bedre enn i min egentlige lærebok, så forstår litt mer, men er ikke ferdig enda. Og trenger nok fortsatt hjelp på de oppgavene jeg postet. Får jobbe videre.

[Johan Nes]

Ok. Tror jeg skjønner litt mer.

Er konseptet så enkelt som at man utnytter kjente potensrekker, f.eks for e^x, sin x og cos x, for å finne rekkene til en funksjon?

Jeg gyver løs på oppgave 2 over:

Jeg orker ikke texe hele nå, men tenker som slik:

1. Skriver ut funksjonen

2. Erstatter e^x med Taylorrekken til e^x.

3. Ganger inn x^2 på teller i Taylorrekken.

4. Voila --> Taylorrekken til f(x)?

[Johan Nes]

Prøver meg også på oppgave 1:

Jeg antar at man også her utnytter den kjente Taylor-rekken [tex]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}[/tex]

Skal finne taylorrekken/Mclaurinrekken til følgende funksjon som kan skrives ut slik: [tex]f(x)=\frac{e^x-1}{x}+x ^2=\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x}+x^2=\frac{1}{x}*e^x-\frac{1}{x}+x^2[/tex]

Kan så erstatte e^x med Taylorrekken til e^x og får da:

[tex]\frac{1}{x}*e^x-\frac{1}{x}+x^2=\frac{1}{x}*\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} - \frac{1}{x}+x^2[/tex]

Ganger inn 1/x og får så:

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} - \frac{1}{x}+x^2[/tex]

So far, so good?

Men hva fasit har gjort videre og hvorfor n = 4 skjønner jeg ikke. Fasit i hovedinnlegg.

[Johan Nes]

Noen kommentarer på mine forsøk på oppgave 1 og 2?

Hadde satt stor pris på det.

[Gustav]

Ganger inn 1/x og får så:

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} - \frac{1}{x}+x^2[/tex]

So far, so good?

Men hva fasit har gjort videre og hvorfor n = 4 skjønner jeg ikke. Fasit i hovedinnlegg.

Taylorrekker inneholder aldri ledd på formen $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ etc.(slike rekker kalles for øvrig Laurentrekker) så du bør omskrive uttrykket slik at du blir kvitt alle slike. Her ser vi at første ledd i summen kansellerer $-\frac{1}{x}$, så hvis vi skriver ut de fire første leddene i summen eksplisitt, og omskriver litt, så får vi

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} +x^2=1+\frac{x}{2}+\frac{7}{6}x^2+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}[/tex]

[Johan Nes]

Taylorrekker inneholder aldri ledd på formen $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ etc.(slike rekker kalles for øvrig Laurentrekker) så du bør omskrive uttrykket slik at du blir kvitt alle slike.

God påminnelse. Men man kan vel gange inn slike ledd så lenge de strykes i teller?

Ellers må jeg innrømme at jeg fortsatt ikke skjønner helt oppgaven. Om du kan forklare litt mer stegvis hadde jeg vært evig takknemlig.

Nesten slik jeg vurderer om jeg må skaffe meg en privatlærer in-person for å få hjelp til disse rekkeoppgavene.

[Gustav]

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} - \frac{1}{x}+x^2[/tex]

So far, so good?

Ja, det du har gjort er riktig hittil.

Videre: Vi skriver ut summen eksplisitt for de første 4 leddene i summen, slik

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} = \frac{x^{-1}}{0!}+\frac{x^{0}}{1!}+\frac{x^{1}}{2!}+\frac{x^{2}}{3!}+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}[/tex] som er ekvivalent med

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} = \frac{1}{x}+1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{6}+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}[/tex],

der vi bruker at 0!=1 (per definisjon), $x^{-1}=\frac{1}{x}$, 1!=1, 2!=2 og 3!=6.

Putt dette inn i uttrykket du kom frem til, slik:

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} - \frac{1}{x}+x^2= \frac{1}{x}+1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{6}+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}- \frac{1}{x}+x^2=1+\frac{x}{2}+(\frac{1}{6}+1)x^2+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=...[/tex]

[Johan Nes]

Du er en helt, Plutarco!

Tusen takk. Er helt med på algebraen, men ikke helt på forståelsen.

Hvorfor fire ledd? Kan ikke man nøye seg med mindre? Var ikke poenget bare å bli kvitt 1/x, jfr. det du sa over?

To spørsmål til:

1. Var det jeg gjorde/tenkte riktig for oppgave 1? Se lenger oppe.

2. Generelt, er "trikset" å erstatte ledd/faktorer i en funksjon med de kjente McLaurin-rekkene?

[Gustav]

Jeg tok med fire ledd for å få med leddet med $x^2$ siden vi også hadde et ledd fra før med $x^2$. På den måten fikk vi samlet sammen de to leddene (altså omskrev jeg på følgende måte: $\frac{1}{6}x^2+x^2=\frac{7}{6}x^2$)

1. Det virker riktig det du har gjort i både oppgave 1 og 2, ja.

2. Ja, det stemmer! Det du gjør er å erstatte alle faktorer og ledd som ikke er potensrekker/summer, med de kjente taylorrekkene, og omskriver så til et uttrykk som er på formen til en taylorrekke. Det hele er altså enkel substitusjon pluss litt algebra. Ingen magiske ting ellers.

[Johan Nes]

Stor takk, Plutarco!

Veldig takknemlig for hjelpen.

[Johan Nes]

"En funksjon er gitt ved [tex]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}[/tex]

Finn den fjerdederiverte til null; [tex]f^{(4)}(0)[/tex]"

Min besvarelse:

Per definisjon vil koeffisienten til leddet i rekken med [tex]x^4[/tex] tilsvare

[tex]\frac{f^{(4)}(0)}{4!}[/tex]

Skriver ut noen ledd i rekken: [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}=\frac{x^{2}}{0!}+\frac{x^{3}}{1!}+\frac{x^{4}}{2!}+...[/tex]

Basert på det jeg sa ovenfor får vi nå likheten:

[tex]\frac{f^{(4)}(0)}{4!}=\frac{1}{2!}\Leftrightarrow f^{(4)}(0)=\frac{4!}{2!}[/tex]

Er dette riktig? Fasiten fører det litt annerledes.

[Gustav]

Det er jo riktig, men du kunne også derivert ledd for ledd og satt inn x=0. Du får jo samme svar, selvsagt.