Partiell derivering og klassifisering av stasjonært punkt

[Fokkeslasken]

Hei, ny på forumet her!

Det er to oppgaver jeg sliter med før en eksamen i matematikk.

Funksjonen h er gitt ved at: h(x, y) = xy − x^2y + x3

a) Finn de partielle deriverte av 1. og 2. orden for funksjonen h.

b) Vis at funksjonen h har nøyaktig to stasjonære punkt: (0, 0) og (1, 3).
Klassifiser de to stasjonære punktene.
Finn maksimum for funksjonen h under bibetingelsen y − x = 2.


Svaret jeg foreløpig har regnet meg til:

a) Partiell derivering med hensyn på x.

1. Orden: [tex]\frac{\partial h}{\partial x}= y − 2xy + 3x^2[/tex]

2. Orden: [tex]\frac{\partial ^2 h}{\partial x^2}= -2y+6x[/tex]


Partiell derivering med hensyn på y:

1. Orden: [tex]\frac{\partial h}{\partial y}= x-x^2[/tex]

2. Orden: [tex]\frac{\partial ^2 h}{\partial y^2}= 0[/tex]


I fasiten står det også et femte svar, men hvordan kommer man frem til det, og hvordan løser man oppgave b)?
[tex]\frac{\partial ^2 h}{\partial y \partial x}= 1-2x[/tex]

[Guest]

Matte 2?

[Guest]

Den siste likningen finner du ved å partiell derivere først med hensyn på x og dermed med hensyn på y (eller omvendt). For alle kontinuerlige funksjoner burde dette være det samme. Bare velg å derivere først på variabelen som gir deg greiest tall.
Altså finn $\frac{\partial h}{\partial x \partial y}$ eller $\frac{\partial h}{\partial y \partial x}$

For å vise stasjonære punkt og klassifisere dem gjør du akkurat som du ville gjort med en funksjon av en variabel. Finn når den derivererte av funksjonen er 0. Her har du to ukjente og to likninger så det burde jo være greit.
Ettersom du har fått oppgitt punktene kan du også bare sette inn og se at det blir 0, men siden det står "vis at nøyaktiv to" må du likevel regne ut at det ikke er flere.

For å klassifisere dem må du se på hva som skjer med den dobbeltderiverte. Her har du en kakeliste:
svar = $h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2$
svar < 0 --> saddelpunkt
svar > 0 --> min/max
hvis min/max:
$h_{xx}$ (eller $h_{yy}$) > 0 --> min (merk at $h_{xx}$ og $h_{yy}$ må begge være større eller mindre enn 0, men kan ha ulikt svar.)
$h_{xx}$ (eller $h_{yy}$) < 0 --> max
Jeg antar at du er kjent med notasjonen jeg brukte her, men hvis ikke så er f.eks. $\frac{\partial h}{\partial x \partial y}
= h_{xy}$

Med bibetingelsen så bare setter du den inn i funksjonen h (som et variabelskifte) og regner ut stasjonære punkter på nytt. Du burde nå ha en envariabel funksjon så det burde være ganske rett fram.

Her er to fine kilder som forklarer metoden godt:
http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/S ... n_2var.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=mMCsFbAtDjk

[Fokkeslasken]

Matte 2?

Faget heter kun matematikk, og er på Høgskolen i Sørøst Norge. Det skal vistnok være ganske basic matte, men for en som kun har hatt P matte på videregående er det mye å bite over.

[Fokkeslasken]

Den siste likningen finner du ved å partiell derivere først med hensyn på x og dermed med hensyn på y (eller omvendt). For alle kontinuerlige funksjoner burde dette være det samme. Bare velg å derivere først på variabelen som gir deg greiest tall.
Altså finn $\frac{\partial h}{\partial x \partial y}$ eller $\frac{\partial h}{\partial y \partial x}$

For å vise stasjonære punkt og klassifisere dem gjør du akkurat som du ville gjort med en funksjon av en variabel. Finn når den derivererte av funksjonen er 0. Her har du to ukjente og to likninger så det burde jo være greit.
Ettersom du har fått oppgitt punktene kan du også bare sette inn og se at det blir 0, men siden det står "vis at nøyaktiv to" må du likevel regne ut at det ikke er flere.

For å klassifisere dem må du se på hva som skjer med den dobbeltderiverte. Her har du en kakeliste:
svar = $h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2$
svar < 0 --> saddelpunkt
svar > 0 --> min/max
hvis min/max:
$h_{xx}$ (eller $h_{yy}$) > 0 --> min (merk at $h_{xx}$ og $h_{yy}$ må begge være større eller mindre enn 0, men kan ha ulikt svar.)
$h_{xx}$ (eller $h_{yy}$) < 0 --> max
Jeg antar at du er kjent med notasjonen jeg brukte her, men hvis ikke så er f.eks. $\frac{\partial h}{\partial x \partial y}
= h_{xy}$

Med bibetingelsen så bare setter du den inn i funksjonen h (som et variabelskifte) og regner ut stasjonære punkter på nytt. Du burde nå ha en envariabel funksjon så det burde være ganske rett fram.

Her er to fine kilder som forklarer metoden godt:
http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/S ... n_2var.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=mMCsFbAtDjk

Takk for utfyllende svar og gode linker, Gjest. Kommer tilbake med flere spørsmål om det blir nødvendig.

Flott forum dere er en del av!