Integral

[Vill]

Hei !

Int(sqrt(cos(2*t)),t=0..x

Har brukt sub u=2t og cos(2t) uten hell

Noen tips?

Vilma

[Nebuchadnezzar]

Integralet er ikke mulig å uttrykke ved standard matematiske funksjoner. Hvorfor tror du at det skal være mulig / hvor har du fått oppgaven fra`?

I tillegg så er det slik at integralet ikke konvergerer når $\cos 2t < 0$ som for eksempel skjer når $t \in (\pi/4 , 3\pi/4)$. Mao konvergerer ikke integralet ditt om $x > \pi/2$.

Vi kan dog skrive

$ \hspace{1cm}
\int_0^x \sqrt{ \cos 2t } \,\mathrm{d}t
= \int_0^x \sqrt{ \cos^2 t - \sin^2 t } \,\mathrm{d}t
= \int_0^x \sqrt{ 1 - (\sqrt{2})^2 \sin^2 t} \,\mathrm{d}t
= E( \sqrt{2} , x)
$

Igjen forutsatt at $x \in (0, \pi/2)$. Her beskriver $E(\sqrt{2}, x)$ et elliptisk integral av første grad, https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral.

[Vill]

Takk for svar.

Integralet skal brukes til å beregne buelengden fra x= o..pi/4.

Tatt fra Kalkulus, Lorentsen og co

Vilma

[Nebuchadnezzar]

Kan du legge ved oppgaven i sin helhet? Har Kalkulus fremme men klarer ikke å finne oppgaven du refferer til. Dersom du finner buelengden av $\cos(2t)$ vil du ende opp med nok et elliptisk integral.

[Vill]

Det er den røde boka. Kapitell om buelengde.
Oppgave 1c.

Finn buelengden. Så dette gitt uttrykket

Vilma

[Nebuchadnezzar]

Har dessverre bare boken som heter Kalkulus og den er forøvrig grønn..

Slik jeg ser det er det tre muligheter

a) Du skal beregne omdreiningslegemet av $y = \sqrt{\cos 2t} \,\mathrm{d}t$ fra $x = 0$ til $x = \pi/4$

b) Du skal beregne buelengden av $f(x) = \int_0^x \sqrt{\cos 2t} \,\mathrm{d}t$ fra $x = 0$ til $x = \pi/4$

c) Du skal beregne $y = \int_0^x \sqrt{1 + \cos 2t} \,\mathrm{d}t$ fra $x = 0$ til $x = \pi/4$

Alternativ a) gir et veldig enkelt integral når du bruker formelen for omdreiningslegemet $\pi \int y(x)^2 \mathrm{d}x$. Mens b) og c) leder begge frem til samme integralet.
Dette er jo fordi $F(x) = \int_0^x f(x)\,\mathrm{d}x \Leftrightarrow F'(x) = f(x)$ fra analysens fundamentaltheorem.

For å løse integralet trenger du bare å bruke at $1 = \cos^2x + \sin^2x$ og $\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x$ og $\cos x > 0$ når $0 \leq x \leq \pi/4$.

[Vill]

Svaret skal være 1

Vilma

[Nebuchadnezzar]

Og det får du av å løse b) eller c).

[Vill]

Takk for tolmodigheten!!!

Vilma