Taylorpolynomer/rekker.Potensrekker.Maclaurinrekker.Hjelp?

[Johan Nes]

Det er jo riktig, men du kunne også derivert ledd for ledd og satt inn x=0. Du får jo samme svar, selvsagt.

Takker!

Jo, men regner med du har vært borte i denne metodikken? En annen oppgave skulle vi finne den 8. deriverte. Tror tanken var at denne metoden gikk kjappere når graden av den deriverte var høy. Men akkurat i det tilfellet var det et enkelt uttrykk med repeterende struktur, så det var faktisk vel så enkelt å derivere direkte.

I oppgaven jeg postet nå var det jo ikke mange derivasjonene, så hadde kanskje vært like enkelt.

[Johan Nes]

"Finn Taylorrekken i [tex]x=1[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^x-1[/tex]."

Fasit:

"Taylorrekken er Maclaurinrekken til [tex]e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}(x-1)^n[/tex]

Er ikke helt med på denne. Noen innspill?

Jeg tenkte første at man her må finne Taylorrekken om [tex]x=1[/tex] for [tex]e^x[/tex] som jo skulle bli

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n[/tex] og så ta det derfra Men lenger kom jeg ikke i denne omgang.

For min del kan det jo se ut som om fasit ikke er helt korrekt her. Ser ut som det er Maclaurinrekken om x=0 og eksponent (x-1) i stedet. Men jeg aner virkelig ikke.

[Nebuchadnezzar]

Siden $e^x = \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^i$. Ved å bytte ut $x$ med $x - 1$ får vi

$ \hspace{1cm}
e^{x - 1} = \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{n!} (x - 1)^i
$

Ser hvor du får $e$ fra men fremangsmåten i fasiten er hvertfall som den ovenfor =)

[Gustav]

"Finn Taylorrekken i [tex]x=1[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^x-1[/tex]."

"Taylorrekken er Maclaurinrekken til [tex]e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}(x-1)^n[/tex]

Er ikke helt med på denne. Noen innspill?

Ikke rart du ikke er helt med, siden fasiten er feil. Her er mitt (tungvinte) forslag:

Vi kan utnytte at Maclaurinrekken til $e^x-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.

Hvis vi foretar substitusjonen $x\to x-1$ får vi at

$e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$.

Hvis vi definerer $g(x)=e^{x-1}-1$, så vil

$e^{x-1}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$ være Taylorrekka til $g(x)$ om $x=1$.

Multipliser ligningen med $e$:

$e\cdot e^{x-1}-e=e\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$

$e^{x}-e=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e(x-1)^n}{n!}$

Legg til $e-1$ på begge sider, så får vi

$e^{x}-1=e-1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e(x-1)^n}{n!}$, som er Taylorrekka til $e^x-1$ om punktet $x=1$.

Det mest lettvinte her er vel å gå rett på definisjonen av taylorrekker, og regne ut koeffisientene direkte..

[Johan Nes]

Det mest lettvinte her er vel å gå rett på definisjonen av taylorrekker, og regne ut koeffisientene direkte..

Hjertelig takk for den flotte utledningen!

Jeg kom også til at det enkleste, for min del i hvert fall, ble å bruke definisjonen av taylorpolynom/rekker direkte. Fungerte veldig fint.

PS: Takk til Nebu også.