Trenger en kort oversikt over algebra-regler og triks

[Antisthenes]

Har begynt med mengdetrening i algebra, så takknemlig hvis noen kan gi henvisninger til en enklest og kortest mulig oversikt over alle regler, triks og nyttige tips for å løse både veldig basic algebra og mer avansert algebra som trengs før man tar begynnerkurs i kalkulus ved universitetet.

Ser altså etter en nettside, et pdf-dokument eller en kort bok som vil gjøre det enkelt å finne frem til de forskjellige reglene og triks når man arbeider med mengdetrening i algebra. Ønsker å trene på dette inntil algebra er "muscle memory".

Har allerede brukt 3 måneder på å kjapt lese gjennom Sinus T1, R1 og R2, samt hatt glede av å følge hele forelesningsrekken til Arne Hole i MAT1100, men dette har bare gitt en passiv og overflatisk forståelse av matematikk, så har gått tilbake til scratch for å arbeide med mengdetrening.

Vet at Sinus inneholder reglene, men trenger en kortest mulig oversikt som gjør det enda enklere å raskt slå opp reglene når man løser oppgaver.

Inkludert nyttige tips og triks, slik at det senere er mulig å forstå hva feks en universitetslærer gjør når vedkommende anvender en lur mellomregning i algebra, uten å forklare stegene, for å komme frem til et svar i kalkulus.

Ønsker å være godt forberedt, så alle regler og viktige triks må være med i oversikten, helst uten at denne blir alt for lang og lite brukervennlig når man løser oppgaver i algebra.

[Nebuchadnezzar]

Om du for eksempel har Kalkulus av Tom Lindstrøm eller en annen bok fra universitetet står de mest vanlige reglene i margen på boken. Når det er sagt er det ikke så fryktelig mye å kunne. Etter 1 minutt på google fant jeg denne. tutorial.math.lamar.edu/pdf/Algebra_Cheat_Sheet.pdf virker dekkende for forkunnskapene en burde ha. Denne virker dekkende for en god del av matematikken en møter første semester på universitetet http://web.mit.edu/asf/www/Images/Cheat ... TH1A_3.jpg.

1) Kvadratsetningene

$ \hspace{1cm}
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
$

$ \hspace{1cm}
a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = (b - a)^2
$

$ \hspace{1cm}
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
$

2) Binomisk / Pascal

$ \hspace{1cm}
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^n b^{n - 1}
$

3) Andregradsformelen og faktorisering

$ \hspace{1cm}
ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow x = \frac{ - b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac} }{2a}
$

4) Fakultet

$n! = n \cdot (n-1)! = n\cdot (n-1) \cdot (n-2)!$

Tips og triks:

Anta du skal faktorisere et polynom. Dersom koeffisientene (tallene foran potensene 3 x^2, her er 3 koeffisienten) er heltall så vil alle heltallsløsninger
alltid være delelig på konstantleddet.

Si at polynomet er $x^2 - 5x + 6$. Konstantleddet her er 6, slik at alle mulige heltallsløsninger må være $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ eller $\pm 6$. Dette gjør det langt raskere å prøve verdier
for å finne røttene.

Merk at det finnes flere måter å faktorisere på enn å bruke polynomdivisjon

$
x^3 + x^2 + 8x + 8 = (x^3 + 8x) + (x^2 + 8) = x(x^2 + 8) + (x^2 + 8) = (x+1)(x^2 + 8)
$

Har en enda bedre kontroll kan en også dele opp ledd for å faktorisere

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
x^2 + \color{blue}{5x} + 6
& = (x^2 + \color{blue}{3x}) + (\color{blue}{2x} + 6) \\
& = \color{red}{x}(x + 3) + \color{red}{2}(x + 3)
= (\color{red}{x + 2})(x + 3)
\end{align*}
$

Det finnes utallige bruksområder for disse. En kan og bruke disse reglene når det kommer til tall

$
\frac{11^2 - 9^2}{11 + 9} = 11 - 9
$

Hvor en brukte 3-kvadratsetning: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Et annet bruksområde er rasjonalisering

$
\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1^2 - 2} = \sqrt{2} - 1
$

Dette kalles gjerne for å gange med den konjugerte (den konjugerte til $a + b$ er $a -b$ eller $b - a$). Men egentlig er det ikke noe mer enn å bruke 3-kvadratsetning.

[Antisthenes]

Takk for grundig svar!

Et søk på "algebra rules" gir mange treff hos Google, feks:

http://algebrarules.com

En utfordring når man lærer matematikk på egenhånd, og er relativt nybegynner, er jo få en tilstrekkelig god oversikt over stor er egentlig "the ball park" når det gjelder regler, tips og triks for hver gren av matematikken, på det matte-nivået man befinner seg.

Hvis det er mulig har jeg alltid likt å få en rask oversikt først, og så arbeide med detaljene etterpå. Er jo litt kjipt som selvlært hobby-matematiker å streve lenge med å løse en oppgave bare for å til slutt oppdage at det var en regel eller et triks man ikke kjente til.

Men er du sikker på at algebra-reglene for vgs ikke omfatter stort mer enn de du nevnte ovenfor? Eller rettere sagt: vil grundig mengdetrening basert på disse reglene være nok til å være godt forberedt på algebra-feltet når man begynner med kalkulus-oppgaver på universitetet?

Og er de reglene du nevnte tilstrekkelig for å tilfredstille algebra-kravene som stilles til studenter som tar begynnerkurs i kalkulus ved feks MIT? Antar at utenlandske universiteter stiller høyere krav til high school-matte enn det norske gjør. Uansett, spør om dette fordi jeg ønsker å bruke matte til å forstå fysikk, og da risikerer man å ikke bli tatt seriøst hvis en avslører manglende kunnskap om "pre-calculus" når man ber om hjelp på feks physicsforums.com. Har allerede brent meg på det

[Nebuchadnezzar]

Da ville jeg titte på den ene linken jeg postet i begynnelsen, den dekker det mest grunnleggende. Du kan jo og titte på en vanlig førsteklasse eksamen gitt på universitetet https://wiki.math.ntnu.no/_media/ma1101 ... ma1101.pdf. Det er jo selvsagt ikke meningen at du skal få til alle oppgavene, men det er to ting du burde se. 1) Det er ikke spesielt mange "algebra" oppgaver. 2) Oppgavene spenner bredere enn på vgs.

Med det mener jeg som regel handler oppgavene om å bruke det du allerede kan på nye måter. Det er med andre ord ikke flere og ukjente metoder som hindrer deg i å få til oppgaven, men heller at du ikke klarer å se hvordan du skal bruke verktøyene du allerede har. Et eksempel er vist under

$ \begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+x}-x
& = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x}-x \right) \cdot \frac{ \sqrt{x^2+x} + x }{ \sqrt{x^2+x} + x } \\
& =\lim_{x \to \infty} \frac{ (x^2+x)-x^2 }{ \sqrt{x^2+x} + x } \\
& =\lim_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ \frac{\sqrt{x^2+x}}{x} + 1 } \\
& =\lim_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}} + 1 } \\
& =\lim_{x \to \infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1 } \\
& = \frac{ 1 }{ \sqrt{1+0} + 1 } = \frac{1}{2}
\end{align*}
$

Du ville kanskje ikke klart å regne ut denne grenseverdien uten å ha sett lignende oppgaver før. Men ser du nærmere bruker en ikke vanskeligere algebra enn hva du allerede har lært. Det å gange med den konjugerte nevnte jeg i forrige post, og utover det handler mer om å manipulere uttrykket. For eksempel at $\sqrt{x^2 + x} / x = \sqrt{x^2 + x}/\sqrt{x^2} = \sqrt{ \frac{x^2+x}{x^2} }$

Ønsker du å spisse algebra-kunnskapene dine på universitetsnivå anbefaler jeg deg å gjøre så mange vanskelige induksjonsbevis og grenseverdier som mulig. Det er her hvertfall i disse to emnene jeg finner mest algebra. For å lære disse "teknikkene" er det bare å sette seg ned å gjøre mest mulig oppgaver. Står en fast kan en titte på løsningsforslaget eller spørre her på forumet.

Som en siste sak brukte jeg boken "Rottmann" på universitetet en del. Den har absolutt alle regler, integraler en kan tenke seg og er en liten pocketbok. Den gir ingen forklaringer men fungerer ypperlig som oppslagsverk når en er blitt kjent med boken.

Når dette er sagt handler universitetsmatten langt mer om formalisme og å forstå prinsippene som ligger bak. Etter de to første årene på universitetet har jeg ikke sett tall i fagene mine, og det er en stund siden vi brukte bokstaver og Så ikke svett for hardt om du ikke får til den mekaniske algebra-magien, det er langt viktigere å forstå matematikken.

[Antisthenes]

Tusen takk for informativt svar. Føler meg sikrere nå på hva algebra-landskapet inneholder av regler på pre-kalkulus-nivået, særlig når du nevnte at:

"Det er med andre ord ikke flere og ukjente metoder som hindrer deg i å få til oppgaven, men heller at du ikke klarer å se hvordan du skal bruke verktøyene du allerede har."

Da er det bare å sette i gang og løse oppgaver.