Sirkelens sentrum

[Drezky]

Beklager hvis det blir litt mye spam nå, men jeg kom over en oppgave som kunne like godt vært presentert av UDIR på vårens eksamen i R1. Dette synes jeg var litt kult...

I et koordinhaatsystem er det plassert en sirkel som har en radius lik 7 og sentrum på y-aksen plassert innenfor parabelen med likningen [tex]y=x^2[/tex], slik at den kun berører parabelen i to punkter. Bestem koordinatene til sirkelens sentrum.

La de unge prøve seg før dere erfarne kommer inn og løser denne på null komma niks =)

[gjestebrukarr]

Beklager hvis det blir litt mye spam nå, men jeg kom over en oppgave som kunne like godt vært presentert av UDIR på vårens eksamen i R1. Dette synes jeg var litt kult...

I et koordinhaatsystem er det plassert en sirkel som har en radius lik 7 og sentrum på y-aksen plassert innenfor parabelen med likningen [tex]y=x^2[/tex], slik at den kun berører parabelen i to punkter. Bestem koordinatene til sirkelens sentrum.

La de unge prøve seg før dere erfarne kommer inn og løser denne på null komma niks =)

[tex]0, 2/9[/tex] ?

[Drezky]

Beklager hvis det blir litt mye spam nå, men jeg kom over en oppgave som kunne like godt vært presentert av UDIR på vårens eksamen i R1. Dette synes jeg var litt kult...

I et koordinhaatsystem er det plassert en sirkel som har en radius lik 7 og sentrum på y-aksen plassert innenfor parabelen med likningen [tex]y=x^2[/tex], slik at den kun berører parabelen i to punkter. Bestem koordinatene til sirkelens sentrum.

La de unge prøve seg før dere erfarne kommer inn og løser denne på null komma niks =)

[tex]0, 2/9[/tex] ?

Nope, prøv igjen. Legger svaret ut i morgen hvis ikke du er i stand til å løse den =)

[Aleks855]

Veldig ugjennomtenkt fremgangsmåte, men er det $(0, \frac{49}{4})$?

[Sirkel]

Antar at det er (0,50)

[Fysikkmann97]

(0, 49.25)?

[Drezky]

Stemmer, fysikkmann97 =)

Det første vi gjør er å finne frem til sirkellikningen:
[tex]\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r[/tex]

som er ekvivalent med
[tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/tex]

Legger merke til sirkelen har sentrum på y-aksen og ligger fra et konstantledd

slik at :

[tex]x^2+(y-c)^2=7^2[/tex]

og [tex]y=x^2[/tex]

Vi får et likningssett hvor [tex]y>0[/tex] og [tex]L:(\pm\,x,y)[/tex]
Hvor [tex](0,c)[/tex] betegner koordinatet til sirkelens sentrum


Innsetter [tex]y=x^2[/tex] i [tex]x^2+(y-c)^2=49[/tex]
[tex]y^2+(y-c)^2=49\Longleftrightarrow y^2+(1-2c)y+c^2-49=0[/tex]

Dette er en annengradslikning med en diskriminant:
[tex]b^2-4ac\Longrightarrow (1-2c)^2-4*1*(c^2-49)=1+4c^2-4c-4c^2+196=197-4c[/tex]

Hvor andregradslikningen har én løsning når diskriminanten er lik 0 :
[tex]197-4c=0\Longleftrightarrow \, \boxed {c=\frac{197}{4}}[/tex]

Sirkellikningen blir dermed:

[tex]x^2+\left (y-\frac{197}{4} \right )^2=7^2[/tex]

[Lambs-Tykje]

Sirkellikningen blir dermed:

[tex]x^2+\left (y-\frac{197}{4} \right )^2=7^2[/tex]

I stedet for all denne regningen:

Parabelen er det geometriske stedet for mengden av punkter som har samme avstand til et gitt punkt – brennpunktet – som en gitt linje, kalt styrelinjen. Det er lett å regne ut at parabelen y=x^2 har y= - 1/4 som styrelinje og brennpunkt i (0 , 1/4).

Punktene på parabelen kan vi altså danne ved å lage en likebeint trekant der ett bein står i brennpunktet, det andre på et vilkårlig punkt på styrelinjen, og der lengden av disse to er kvadratet av avstanden mellom brennpunkt og det valgte punktet på styrelinjen. Midt mellom beina på denne likebeinte trekanten går tangenten til parabelen i punktet vi har tegnet.

Tangenten til parabelen i punktet vi har tegnet, er samtidig tangenten til en sirkel med sentrum et sted på x-aksen som berører parabelen innenfra i dette punktet. Linja fra midten av den likebeinte trekanten står vinkelrett på sirkelens radius i tangeringspunktet. Da vet vi at radiusen til en sirkel som tangerer parabelen innenfra, er lik avstanden mellom brennpunktet og det valgte punktet på styrelinjen. Vi vet også at linjen fra sirkelens tangeringspunkt til dens sentrum er parallell med linjen fra brennpunktet til punktet på styrelinjen.

I oppgaven var radiusen satt til 7. Avstanden loddrett opp fra styrelinjen y = - 1/4 til tangeringspunktet blir altså 49. Høydeforskjellen mellom styrelinjen og brennpunktet er 1/2, altså er sirkelens sentrum i punktet (0 , 49,25)