Integralet 1/x

[goobigofs]

Heisann!

Holder på med integralet 1/x på Campus inkrement, og kom til en oppgave der vi skulle integrere denne:

[tex]\int (\frac{2}{2x+1})\mathrm{d} x[/tex]

Jeg begynte ved gjøre substitusjon på [tex]2x+1[/tex] slik at jeg fikk [tex]\frac{2}{u}[/tex], [tex]u = 2x+1[/tex]

Videre tok jeg 2-tallet ut fra brøken så jeg fikk [tex]2*\frac{1}{u}[/tex] som passer med formelen [tex]\int (\frac{1}{x})\mathrm{d} x = ln(\left | x \right |) + c[/tex]

Jeg utleder det slik: [tex]\int (\frac{2}{2x+1})\mathrm{d} x = \int (\frac{2}{u})\mathrm{d} u = \int (2*\frac{1}{u})\mathrm{d}u = 2ln(\left | u \right |) + c = 2ln(\left | 2x+1 \right |) + c[/tex]

Men dette passer ikke med fasiten som sier: [tex]ln(\left | 2x+1 \right |)+c[/tex]

Kunne noen forklart hva jeg gjør feil?

[goobigofs]

Etter siden her: http://www.nkhansen.com/integrasjon_ved ... pspaltning

Ser jeg at vi har en formel: [tex]\int \frac{1}{ax+b}\mathrm{d} x = \frac{1}{a}ln(\left | ax+b \right |) + C[/tex]

Denne kan jeg anvende, men er det mulig å gjøre det uten denne formelen? Eller går enkelte spørsmål på i hvilken grad du kan finne slike formler og bruke de selv (for dere som har brukt Campus)?

[Kjemikern]

Det er helt korrekt som du sier at du skal bruke substitusjon, men du har glemt å ta med et essensielt ledd.

Som du sier så setter vi $u=2x+1$, og $u'=2$

Husk at $dx=\frac{du}{u'}$


Hvilket gir deg:

$\int\frac{2}{u} \frac{du}{u'}$ Her er det rett fram.

[goobigofs]

Det er helt korrekt som du sier at du skal bruke substitusjon, men du har glemt å ta med et essensielt ledd.

Som du sier så setter vi $u=2x+1$, og $u'=2$

Husk at $dx=\frac{du}{u'}$


Hvilket gir deg:

$\int\frac{2}{u} \frac{du}{u'}$ Her er det rett fram.

Kunne du utdypet denne?

$dx=\frac{du}{u'}$

Veldig nylig begynt med å skrive dx i stedet for å skrive derivert-tegnet, så er ikke helt kjent med logikken her.

[Kjemikern]

Det er helt korrekt som du sier at du skal bruke substitusjon, men du har glemt å ta med et essensielt ledd.

Som du sier så setter vi $u=2x+1$, og $u'=2$

Husk at $dx=\frac{du}{u'}$


Hvilket gir deg:

$\int\frac{2}{u} \frac{du}{u'}$ Her er det rett fram.

Kunne du utdypet denne?

$dx=\frac{du}{u'}$

Veldig nylig begynt med å skrive dx i stedet for å skrive derivert-tegnet, så er ikke helt kjent med logikken her.

Vi har at $u=2x+1$

Videre kan $u'$ bli skrevet som $\frac{du}{dx}$, altså $u'=\frac{du}{dx}$

Den deriverte blir da $\frac{du}{dx}=(2x+1)'$

$\frac{du}{dx}=2$. Hvis vi ganger med dx på begge sider ender vi opp med. $du=2dx$


Går vi tilbake til det opprinnelige integralet så ser vi at:


$\int \frac{2dx}{2x+1}$ her kan vi substituere 2dx, med du, og hele nevneren med u

$\int \frac{du}{u}$

$ \ln \left | u \right | + C$

$\ln \left | (2x+1) \right | + C$

[goobigofs]

Det er helt korrekt som du sier at du skal bruke substitusjon, men du har glemt å ta med et essensielt ledd.

Som du sier så setter vi $u=2x+1$, og $u'=2$

Husk at $dx=\frac{du}{u'}$


Hvilket gir deg:

$\int\frac{2}{u} \frac{du}{u'}$ Her er det rett fram.

Kunne du utdypet denne?

$dx=\frac{du}{u'}$

Veldig nylig begynt med å skrive dx i stedet for å skrive derivert-tegnet, så er ikke helt kjent med logikken her.

Vi har at $u=2x+1$

Videre kan $u'$ bli skrevet som $\frac{du}{dx}$, altså $u'=\frac{du}{dx}$

Den deriverte blir da $\frac{du}{dx}=(2x+1)'$

$\frac{du}{dx}=2$. Hvis vi ganger med dx på begge sider ender vi opp med. $du=2dx$


Går vi tilbake til det opprinnelige integralet så ser vi at:


$\int \frac{2dx}{2x+1}$ her kan vi substituere 2dx, med du, og hele nevneren med u

$\int \frac{du}{u}$

$ \ln \left | u \right | + C$

$\ln \left | (2x+1) \right | + C$

Hmm, kan ikke si jeg forstår det helt enda. Tror jeg blir nødt til å tygge litt på den. Hvis du leser opp [tex]\frac{du}{dx}[/tex], hvordan sier du det med ord?

[Fysikkmann97]

u derivert mhp. x?

[Kjemikern]

Jeg leser det du dx eller du over dx