Et farvel til mengdelæren

[John Einbu offline]

Noen uker rundt årsskiftet 2015-16 pågikk det en litt opphetet debatt på Mateamtikk.net. Påstandene som ble diskutert var at Cantor begikk noen feilaktige antakelser da han utviklet sin berømte mengdelære og at læren derfor ikke er etterrettelig. Er denne påstanden riktig, så inneholder dagens mengdelære konklusjoner som ikke kan være holdbare. Det var én debattant (undertegnede) som mente å ha påvist slike feil. Etter hvert ble det ni debattanter som forsvarte den gjeldende mengdelære. Det viste seg da at ikke alle forsvarerne var matematikere og at de aller fleste av de øvrige bare hadde overfladisk kjennskap til mengdelæren, og spesielt til dens historie. De visste lite om lærens mange selvmotsigelser, trolig fordi disse ble kamuflert som paradokser, de kjente neppe til all den motstand læren møtte de første årene etter at den ble lansert, blant annet fra den kjente norske matematikeren Thorolf Skolem, de kjente trolig ikke til de forsøk som har vært gjort for å finne en erstatter for dagens mengdelære, de tenkte nok ikke over at uendelighetsaksiomet forutsetter en metode for dannelse av uendelige mengder som ingen vet om eksisterer, de har tydeligvis ikke reflektert over at Zermelo og Fraenkel innførte et aksiom som alle kan se ikke tilfredsstiller kravet om at et aksiom skal være selvinnlysende og de har trolig ikke fått med seg den mest pinlige episoden i matematikkens historie, hvor et problem relatert til mengdelæren figurerte øverst på en meget omtalt liste over de mest prominente uløste matematiske problemer, som Hilbert i år 1900 satte opp, men som viste seg å ikke ha noen meningsfull løsning i det hele tatt. Disse forsvarerne hadde nok sett i sine matematiske tekster at Cantor ble regnet blant verdens fremste matematikere og oppfattet vel mengdelæren som en etablert matematisk teori som man kunne ha den samme tilliten til som til andre grener av matematikken. Hadde de visst litt mer om lærens historie, så hadde de kanskje fremstått litt mindre selvsikre.

Det var også litt fornøyelig å oppleve et forsøk fra en av debattantene på å bevise at det var like mange primtall som heltall. Han var tydeligvis ikke klar over at det er umulig å bestemme om et uendelig heltall – et tall med uendelig mange siffer - er primtall eller ikke.

Etter 84 svar og 10132 visninger opplevde man så det merkelige at en av motstanderne – etter å ha mislykkes i alle sine forsøk på å påvise en eneste feil i mine resonnementer - gikk til det skritt å stenge debatten. Den gangen dette skjedde hadde jeg for så vidt ikke så mye mer på hjertet, så stengingen passet meg utmerket. Men i ettertid har jeg nå gjort enkelte oppdagelser om tallsystemet, oppdagelser som har konsekvenser for mengdelæren. - Og noen vil da kanskje si at nå har han omsider oppdaget at han tok feil. Men tvert imot, disse oppdagelsene har faktisk gjort meg ende sikrere på at Cantor tok feil.

Nå har jeg ikke tenkt å starte en ny debatt på dette forumet hvor jeg presenterer det nye jeg har funnet ut om tallsystemet og de konsekvenser dette har for mengdelæren. Å starte en ny debatt på et forum hvor en moderator kan stenge en debatt etter forgodtbefinnende vil være for naivt. Isteden vil jeg presentere min nye innsikt i tallsystemet og mengdelæren i flere korte innlegg hver søndag på min blogg john.einbu.no. Serien med innlegg vil ha tittelen «Et farvel med dagens mengdelære» og de vil være nummerert fra 1 og oppover. De tre første innleggene som er av innledende karakter og ikke inneholder så mye nytt, er for lengst på plass. Det første med litt ny substans, og som da vil være innlegg nr. 4 kom søndag 31/7. Det er kanskje litt pretensiøst å si det, men jeg vil påstå at de som fordomsfritt leser disse innleggene etter hvert som de kommer, vil, når de leser det siste innlegget, være overbevist om at Cantor tok feil og at dagens mengdelære må forkastes.

[madfro offline]

Hei,

Jeg har fulgt den tidligere debatten her på forumet, uten å delta.
Jeg har ikke nok kunnskap om temaet til å kunne kommentere hvorvidt dine påstander rundt mengdelæren er riktig.
Jeg stiller imidlertidig spørsmålstegn med måten du ønsker å legge dette frem for verden.

Det må da være bedre å prøve å få publisert dine funn i en journal som blir lest av matematikere som arbeider innen fagområdet, istedet for å diskutere med studenter og å publisere på din egen bortgjemte blogg. Dette bidrar i hvertfall for min del til at jeg ikke kan ta diskusjonen seriøst.

[Vaktmester]

Jeg stiller imidlertidig spørsmålstegn med måten du ønsker å legge dette frem for verden.

Jeg synes det enn så lenge er helt greit at John Einbru bruker forumet på matematikk.net for å få oppmerksomhet rundt sine tanker omkring mengdelære. Det er mye kompetanse blant de som bruker forumet, og noen har sikkert gjort seg noen tanker om mengdelære også og kan kanskje spille litt ball med ham.

Mitt ønske for en eventuell diskusjon av Einbrus påstander er at alle involverte i størst mulig grad holder seg til matematikken.

For å gjøre Einbus nyeste innlegg på bloggen sin litt mer tilgjengelig har jeg lenket til dem her:

Del 1: Et farvel til dagens mengdelære https://john.einbu.no/2016/07/10/et-far ... aere-del-1
Del 2: Kan uendelige mengder dannes? https://john.einbu.no/2016/07/17/et-far ... aere-del-2
Del 3: Et forsøk på å danne et bilde av hva uendelig er https://john.einbu.no/2016/07/24/et-far ... aere-del-3
Del 4: Konkrete og abstrakte tall https://john.einbu.no/2016/07/31/et-far ... aere-del-4

[Gjest offline]

Etter 84 svar og 10132 visninger opplevde man så det merkelige at en av motstanderne – etter å ha mislykkes i alle sine forsøk på å påvise en eneste feil i mine resonnementer

Dette er ren løgn. Du la aldri frem en eneste matematisk teori. Kun synsing. Som viking, med enorm nøyaktighet, påpekte:

Vær så snill å arkivere denne tråden. Veldig mange får stadig vekk epost med boktittelen "John Einbu - "Finnes det en sann matematikk?" Det er reklame for en bok som kanskje ikke burde leses.

John, du må jo kunne føre et enkelt bevis.

Det ble fremlagt matematiske bevis av andre i den tråden, men de valgte du å ikke svare på.

[John Einbu offline]

Til Gjest

Følg med hver søndag på nye innlegg om tallsystemet og mengdelæren. Når det siste innlegget kommer så kan du og Viking slippe til med deres synspunkter (og gjerne på min blogg). Dere vil da oppdage at dagens mengdelære er kommet i et nytt lys. Jeg foreslår at alle holder sine meninger for seg selv inntil da. Jeg vet at ledelsen i Matematikk.net ikke ønsker en gjenopptagelse av denne diskusjonen nå.

[Gjest offline]

Følg med hver søndag på nye innlegg om tallsystemet og mengdelæren

Ellers takk. Det jeg har lest hittil har i stor grad vært en legpersons synsing av et matematisk emne. Og det finnes veldig lite faktisk matematikk i det du skriver.

Jeg vil imidlertid påpeke at hvis du ikke ønsker våre meninger, ikke post dine egne heller. I alle fall ikke på et diskusjonsforum.

[pit offline]

For å få debatten litt ned på jordet, så lurer jeg på John Einebu er en filosof inne matematisk filosofi eller har ren matematisk bakgrunn.

Årsaken til at jeg spør om dette, er at matematikkere og matematiske filosofer behandler slike spørsmål ganske annerledes, og at det er mye kniving mellom publikasjoner mellom disse to gruppene.

Mye av teorien John Einebu prøver å fremlegge, er vanskelig for matematikkere å akseptere da det er på et meta plan.

For eksempel, er vinkelen av en trekant ikke 180 grader, selv om den matematisk er det. Mye av logikken tilsier at det er 180 grader, og
de fleste på forumet ville ha argumentert for at vedkommende er gal for å argumentere for det ikke er 180 grader.

Men, matematisk filosofi har en annen (for noen merkelig), approach som argumenterer med f.eks trekanten ikke er 180 grader pga konstruksjons umuligheten å få nøyaktig 180 grader hvis en faktisk tegner på papir. Dette var noe alle
har lært i Exphil (standard pensum).

Vi som holder på matematikk holder fortsatt fast på at trekanten er 180 grader.

Har ikke så mye peiling på mengdelære, men sett fra et meta plan kan en sette i tvil såkalte aksiomer.

I matematikken tar en aksiomer for gitt. Eksempler er Zorn's lemma fra abstrakt algebra at "Enhver partiell ordnet mengde inneholder en total ordnet submengde har t maksimalt element". I reel analyse har vi kompletthets aksiomet, og
i tallteori har vi at enhvert mengde av naturlige tall har et minste element.

Aksiomer er ikke bevist, og matematikk har en begrensing at noe alltid må bygge på noe som ikke er bevist, som
åpner for meta debatt.

Uansett, så er det mulig at det hull i disse aksiomene, og det har flere ganger skjedd, men det har uansett ingen betydning i praksis da aksiomene ofte passer sammen med sunn logikk.

For meg virker dette som en matematisk filosfisk debatt, og ikke en matematisk debatt. Begrepsapperatet og
virkeligforståelsen mellom disse to gruppene er polariserende, og ofte forstår ikke gruppene hverandre. For eksempel
det med 180 graders trekant.

[pit offline]

For å bidra til en mer konstrutiv debatt kan jeg legge inn problemet som John Einebu ikke helt aksepterer.

Naturlige tall [tex]\mathbb{N}[/tex]
[tex]|\mathbb{N}| = \aleph _ {0}[/tex] er et abstrakt begrep, på samme måte som komplekse tall.

For at noe skal være tellbart må det finnes en bijeksjon mellom mengden og de
naturlige tall [tex]\mathbb{N}[/tex]

Ved diverse teknikker for å visualisere en mapping, kan en vise at [tex]|\mathbb{Q}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N}| = \aleph_{0}[/tex]



Ettersom [tex]\mathbb{R}[/tex] ikke er tellbart, så velger en å se på siffrene.
xxxxx.#####################.
Av kombinatorikk må reele tallene ha [tex]|\mathbb{R}|=10^{\aleph_{0}}[/tex]

Ettersom det kan vises at [tex]|P(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_{0}} = \beth_{1} = 10^{\aleph_{0}}[/tex],
så vil [tex]|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|[/tex]( hvor P( ) er mengden av all delmengder, herav 2^{antall elementer}
hvor en kan av kombinatorikk velge å ta med eller ikke ta med element i mengden.)

selv om en antok alle uendelige mengder har samme kardianlitet.

Matematikkere flest aksepterer dette, på samme måte som en aksepterer komplekse tall.

På grunn av begrepene er abstrakt, og ikke gir konkret mening, er det matematikkere, logikkere og matematiske
filosofer som har problemer akseptere det, da begrepene ikke er konkret definert.

[pit offline]

Så det ble litt rotete skrevet, men enkelte mener alle mengder har kardinalitet [tex]\aleph_{0}[/tex],
dvs er tellbar.

Hvis en velger som John Einbu å fjerne det berømte uendelighets aksiomet, så er implikasjonen
at [tex]|\mathbb{R}| = \aleph_{0}[/tex]

Men, da må det finnes en bijeksjon [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}[/tex], dvs en må
kunne konstruere en mapping mellom disse to.

For hvis ikke, vil [tex]|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|[/tex] som medfører selvmotsigelse
om at uendelighets aksiomet er galt.

[pit offline]

alle "uendelige" mengder

[pit offline]

En velger dermed å forkaste eksistensen av naturlige tall, pga det går ikke kan å lage en slik konstruksjon.

[John Einbu offline]

Til Gjest
Mine innlegg kommer hver søndag på min blogg john.einbu.no, slik som forklart i mitt første innlegg. Jeg følger derfor din oppfordring om å ikke delta med meninger på Matematikk.net-forumet.

[Gustav]

Det var også litt fornøyelig å oppleve et forsøk fra en av debattantene på å bevise at det var like mange primtall som heltall. Han var tydeligvis ikke klar over at det er umulig å bestemme om et uendelig heltall – et tall med uendelig mange siffer - er primtall eller ikke.

Hvis du sikter til et av Karl Eriks innlegg (såvidt jeg kan huske), så er jeg rimelig sikker på at han aldri mente at det fins primtall med uendelig mange siffer.

Du snakker her om uendelige heltall som om det faktisk eksisterer. Hva i all verden er et uendelig heltall? Mener du transfinitte tall? De er dog ikke definert som heltall.

[pit offline]

Jeg skjønner det heller ikke. Det John antyder er:

[tex]\infty \in \mathbb{Z}[/tex].

Uansett, hvis John antyder veldig stort tall, så vil det å finne ut om noe er et primtall være endelig, pga en må kun sjekke [tex]< \sqrt{n}[/tex]
tall som er mindre ved hjelp av divisjon (endelig antall). Divisjon har endelig antall operasjoner. I alt, så vil antall operasjoner være endelig.

Merk at antakelsen om at uendelighet finnes, ikke er tilstede.

Et utenkelig stort tall kan sjekkes for primhet. Eneste, er at
det vil kunne ta flere 100 år.

[John Einbu offline]

Jeg minner om mine innlegg hver søndag på min blogg john.einbu.no. Hvert innlegg setter søkelyset på ett aspekt av mengdelæren som svekker dens troverdighet. Sist søndag, den 28/8, kom innlegg nr. 8 i serien. Dette innlegget tar for seg systemet av heltall og påviser sider ved dette systemet som ikke er forenelig med enkelte av de resultatene man kommer frem til den gjeldende mengdelære.

Det er en alminnelig forståelse blant matematikere at etter hvert som man beveger seg oppover i rekken av heltall, altså etter hvert som heltallene blir større og større, så vil heltallene ligne mer og mer på de uendelige tallene, og til slutt når heltallene blir ekstremt store, så vil de ha alle egenskapene til felles med de uendelige tallene. Akkurat det siste står kanskje ikke i matematikkbøkene, men det er likevel underforstått i mange matematiske resonnementer.

Det nevnte innlegget viser at slik kan det ikke være. De endelige heltallene vil aldri gradvis bli lik de uendelige heltallene (hvis disse finnes), uansett hvor store de blir. Blant innleggene så langt vil dette innlegg nr. 8 være det som er mest kompromitterende for dagens mengdelære.
.
De som har lagt hele sin prestisje i å forsvare dagens mengdelære, vil sikkert nekte å godta de avsløringene jeg har gjort.

Her er adressen til de fem siste innleggene på min blogg.

http://john.einbu.no/2016/07/31/et-farv ... ere-del-4/
https://john.einbu.no/2016/08/07/et-far ... ere-del-5/
https://john.einbu.no/2016/08/14/et-far ... ngdelaere/
http://john.einbu.no/2016/08/21/et-farv ... ere-del-7/
https://john.einbu.no/2016/08/26/et-far ... ere-del-8/

Etter at jeg startet denne serien med innlegg om mengdelæren, har antall visninger på min blogg tatt seg kraftig opp. Jeg tolker ikke dette som at jeg har fått mange tilhengere av mine «kjetterske» meninger, men øyensynlig er det i alle fall noen lesere som ikke synes at det er bortkastet tid å lese det jeg skriver (slik som noen påstår).