Bayes formel og to påfølgende tester

[Lambs-Tykje]

Oppg 329, s. 323 i Heir et al.: Matematikk R1 (2007)

(Lett omskrevet): I en befolkningsgruppe er 1 % HIV-smittet. HIV-testen har sensitivitet på 98 % og spesifisitet på 99,8 % - den gir altså positivt utslag for 98 % av dem som er smittet og negativt utslag for 99,8 % av dem som ikke er smittet.

De første spørsmålene er enkle: Det er 1,178 % sjanse for at en tilfeldig valgt person i gruppa får et positivt resultat (1,2 % i fasiten). En person som tester positivt, har 83,19185 % sjanse for å være smittet (83,2 % i fasiten). Sannsynligheten for at en person som tester negativt, er frisk, er 99,97939 % (99,98 % i fasiten). Så kommer dette:

«Anta at [den første] testen er positiv, og at personen lar seg teste en gang til. Hva er sannsynligheten for at personen ikke er HIV-smittet hvis den nye testen er negativ? Kommenter eventuelle forutsetninger du gjør.»

Fasiten oppgir 91,0 % som svar.

Noen løsningsforslag jeg har måttet forkaste:
- Bruke som utgangspunkt at sjansen for at en enkeltperson får to etterfølgende, falske positiver er (1 – 0,8319185)^2. (Tror imidlertid ikke man kan regne slik.)
- Bruke binomialformelen.
- Bruke de totale andelene av de fire ulike kombinasjonene i en testet populasjon som utgangspunkt – altså at andelen syke med positivt testresultat er 0,98 %, syke med negativt resultat 0,02 %, friske med negativt resultat 98,802 %, friske med positivt resultat 0,198 %.
- Bruke Bayes’ formel på nytt – tror løsningen ligger her, men får det ikke til.
- Jeg har aldri vurdert seriøst å regne ut gjennomsnittet av sjansene for hhv. «ikke smittet ved positivt testresultat» og «frisk ved negativt resultat». Likevel er resultatet skuffende likt fasiten – 0,9156562. Fasitens tall gir forresten 0,9159.

Et par nettsteder der lignende spørsmål diskuteres, har ikke gjort meg klokere:

http://redfrontdoor.org/blog/?p=925
http://math.stackexchange.com/questions ... tive-tests

Oppgaven er merket som «vanskelig», men det får være grenser. Hva er det jeg overser?

[Drezky]

Definerer hendingene:

[tex]Test_1[/tex]=den første testen
[tex]Test_2[/tex]= den andre testen

Antar at resultatene er uavhengige da vi velger fra en person som er smittet og ikke smittet,


[tex]P(Test_1\cap \bar{Test_2})=P(S)*P(Test_1\cap \bar{Test_2\mid S})+P(\bar{S})*P(Test_1\cap \bar{Test_2}\mid \bar{S})[/tex]

Regn ut dette.

Deretter kan du anvende bayes' setning: [tex]P(\bar{S}\mid Test_1 \cap \bar{Test_2})[/tex]



Kan skrive utfyllende i morgen da jeg kjenner meg døsig

[Lambs-Tykje]

Antar at resultatene er uavhengige da vi velger fra en person som er smittet og ikke smittet,

Litt upresist? - Vi interesserer oss jo nettopp for avhengigheten mellom hendelsene, men antar at det ikke er noe i det første prøveresultatet som direkte påvirker det andre.

[tex]P(Test_1\cap \bar{Test_2})=P(S)*P(Test_1\cap \bar{Test_2\mid S})+P(\bar{S})*P(Test_1\cap \bar{Test_2}\mid \bar{S})[/tex]

0,01 * (0,98 * 0,02) + 0,99 * (0,998 * 0,002) gir at den totale sannsynligheten for at en person får motsatt resultat i to påfølgende tester er 0,00217204.

Deretter kan du anvende Bayes' setning: [tex]P(\bar{S}\mid Test_1 \cap \bar{Test_2})[/tex]

(0,99 * (0,998 * 0,002))/0,00217204 = 0.90976225

Kan skrive utfyllende i morgen da jeg kjenner meg døsig

Helt i orden at du var litt knapp, akkurat passelig hjelp for meg ... kanskje, siden jeg føler meg litt som en gorilla med skrivemaskin og ikke er 100 % sikker på at dette stemmer, selv om jeg endte opp med et svar som ser ut til å passe noenlunde med fasitens kryptiske "91 %".

[Fysikkmann97]

Fasit ≠ løsningsforslag

[Lambs-Tykje]

Fasit ≠ løsningsforslag

Kryptisk på grunn av praksisen som fasiten etablerer når det oppgis 99,98 % som svar på spørsmålet om hva som er sannsynligheten for at en person som tester negativt, er frisk. Her avrunder de kalkulatorsvaret 99,97939 % på en måte som skulle tilsi at de ville oppgi 90,98 % som svar på oppgaven jeg plagdes med. Dette er spesielt irriterende siden et par uriktige regnemåter gir svar som ligger ganske nær 91 % - se over. (Eller kanskje det var et poeng for forfatterne å være kryptiske og lett villedende, hva vet jeg.)