product of cycles

[Janhaa]

Hvordan blir:

[tex]\large (1,4,5)(7, 8)(2, 5, 7)[/tex]
lik
[tex]\large (2, 1, 4, 5, 8, 7)[/tex]

Og hvordan ser permutasjonen ut?

[stensrud]

Hvordan blir:

[tex]\large (1,4,5)(7, 8)(2, 5, 7)[/tex]
lik
[tex]\large (2, 1, 4, 5, 8, 7)[/tex]

Og hvordan ser permutasjonen ut?

Husk at vi leser fra høyre mot venstre, slik som med komposisjon av funksjoner. Vi kan faktisk se på produktet av syklene som en komposisjon av funksjoner på følgende måte: Du starter med permutasjonen $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Først ser vi hva sykelen $(2,5,7)$ gjør med denne. Den sender tallet på plass nummer $2$ til plass nummer $5$, tallet på plass nummer $5$ til plass nummer $7$, og tallet på plass nummer $7$ til plass nummer $2$ igjen. Da ender vi opp med permutasjonen $\{1,7,3,4,2,6,5,8\}$, og vi kan skrive det på følgende måte:
\[ \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \xrightarrow{(2,5,7)} \{1,7,3,4,2,6,5,8\}. \]
Nå går vi til den neste sykelen, nemlig $(7,8)$: Denne er litt enklere, fordi den bare bytter om de to bakerste elementene (7. og 8. element). Vi skriver:
\[ \{1,7,3,4,2,6,5,8\} \xrightarrow{(7,8)} \{1,7,3,4,2,6,8,5\} .\]
Bare én igjen! Den siste sykelen $(1,4,5)$ sender første element til fjerde plass, fjerd element til femte plass, og femte element til første plass. Gjør vi dette med permutasjonen de tidligere stegene har gitt oss får vi
\[ \{1,7,3,4,2,6,8,5\} \xrightarrow{(1,4,5)} \boxed{\{ 2,7,3,1,4,6,8,5 \}} .\]
Men hva skjer hvis vi kjører på med sykelen $(2,1,4,5,8,7)$ fra starten av? Vi prøver: Med utgangspunkt i $\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\}$ igjen sender vi andre element til første plass, første element til fjerde plass,..., åttende element til sjuende plass, og til slutt: det sjuende elementet til den andre plassen. Dette gir oss faktisk også permutasjonen $\boxed{\{ 2,7,3,1,4,6,8,5 \}}$, og det er derfor vi sier at $(1,4,5)(7,8)(2,5,7)$ er lik $(2,1,4,5,8,7)$: De gir samme resultat.

Med andre ord: La $f(x)=x^2,g(x)=e^{2x}$ og $h(x)=e^{2x^2}$. Da er $g(f(x))=g(x^2)=e^{2x^2}=h(x)$, så vi sier at $g(f(x))=h(x)$. Det er akkurat det samme som skjer i oppgaven over, og det er (så vidt jeg vet) ikke noe galt i å tenke på syklene som funksjoner.

[Janhaa]

Takk for utfyllende svar. Imidlertid virker det som om fasiten gir [tex](2, 1, 4, 5. 8, 7)[/tex] direkte.
Da sistnevnte sykel ikke er oppgitt i oppgava, hjelper det lite og anvende den på: [tex](1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)?[/tex]
Som gir[tex]\,(2, 7, 3, 1, 4, 6, 8, 5).[/tex]
Ellers er forklaringa di bra!

[Gustav]

Hvordan blir:

[tex]\large (1,4,5)(7, 8)(2, 5, 7)[/tex]
lik
[tex]\large (2, 1, 4, 5, 8, 7)[/tex]

Og hvordan ser permutasjonen ut?

En kjappere måte å se det på er som følger:

Vi starter fra høyre og går mot venstre (dvs. utfører permutasjonen lengst til høyre først). (2,5,7) sender 2 til 5, og (1,4,5) sender 5 til 1. Totalt vil derfor 2 gå til 1. ($2\to 1$)

Igjen, fra høyre mot venstre, må 1 sendes til 4. ($1\to 4$)


4 sendes totalt sett til 5. ($4\to 5$)


Videre vil (2,5,7) sende 5 til 7, mens (7,8) sender 7 til 8. Totalt går derfor 5 til 8. ($5\to 8$)


(7,8) sender 8 til 7. ($8\to 7$)


Til slutt vil (2,5,7) sende 7 til 2. ($7\to 2$)


Alt dette kan oppsummeres med permutasjonen (2,1,4,5,8,7)

[Janhaa]

Hvordan blir:
[tex]\large (1,4,5)(7, 8)(2, 5, 7)[/tex]
lik
[tex]\large (2, 1, 4, 5, 8, 7)[/tex]
Og hvordan ser permutasjonen ut?

En kjappere måte å se det på er som følger:
Vi starter fra høyre og går mot venstre (dvs. utfører permutasjonen lengst til høyre først). (2,5,7) sender 2 til 5, og (1,4,5) sender 5 til 1. Totalt vil derfor 2 gå til 1. ($2\to 1$)
Igjen, fra høyre mot venstre, må 1 sendes til 4. ($1\to 4$)
4 sendes totalt sett til 5. ($4\to 5$)
Videre vil (2,5,7) sende 5 til 7, mens (7,8) sender 7 til 8. Totalt går derfor 5 til 8. ($5\to 8$)
(7,8) sender 8 til 7. ($8\to 7$)
Til slutt vil (2,5,7) sende 7 til 2. ($7\to 2$)
Alt dette kan oppsummeres med permutasjonen (2,1,4,5,8,7)

Takker, da kom permutasjonen direkte!