gruppehomomorfi og kjerner

[Janhaa]

Kan noen forklare meg hvordan jeg finner kjernen til følgende gruppehomomorfier:
a)
[tex]\phi:\mathbb{Z} \to S_3,\,\,\,\phi(1)=(1, 2, 3)[/tex]
b)
[tex]f:\mathbb{Z_{24}} \to D_6,\,\,\,f(1)=(1, 2)(3,6)(4,5)[/tex]
c)
[tex]g:\mathbb{Z_{20}} \to \mathbb{Z_4} \times \mathbb{Z_5} ,\,\,\,g(1)=(2,4)[/tex]
d)
[tex]\large h:\mathbb{R} \to Rot ,\,\,\,h(x)= R_{(x \pmod{ 2\pi})}[/tex]

altså vet jeg for hhv. a), b), c) og d):

[tex]\ker(\phi) \subseteq \mathbb{Z}[/tex]
DVs
[tex]\ker(\phi) < \mathbb{Z}[/tex]


[tex]\ker(f) \subseteq \mathbb{Z_{24}}[/tex]
DVs
[tex]\ker(f) < \mathbb{Z_{24}}[/tex]


[tex]\ker(g) \subseteq \mathbb{Z_{20}}[/tex]
DVs
[tex]\ker(g) < \mathbb{Z_{20}}[/tex]

[tex]\ker(h) \subseteq \mathbb{R}[/tex]
DVs
[tex]\ker(h) < \mathbb{R}[/tex]

mulig noen av kjernene også er normal subgroups av f, g, h etc...

[Gustav]

Kan noen forklare meg hvordan jeg finner kjernen til følgende gruppehomomorfier:
a)
[tex]\phi:\mathbb{Z} \to S_3,\,\,\,\phi(1)=(1, 2, 3)[/tex]

$\phi (2)=\phi(1+1)=\phi(1)\phi(1)=(1,2,3)(1,2,3)=(1,3,2)$

$\phi (3)=\phi(2+1)=\phi(2)\phi(1)=(1,3,2)(1,2,3)=(1)(2)(3)=id$

$\phi(4)=\phi(3)\phi(1)=\phi(1)=(1,2,3)$ etc.

$\phi(-1)=(1,2,3)^{-1}=(3,2,1)$,
og

$\phi(0)=\phi(1+(-1))=\phi(1)\phi(-1)=(1,2,3)(3,2,1)=(1)(2)(3)=id$

Induktivt ser vi da at $ker(\phi)=3\mathbb{Z}$.

[stensrud]

Slenger meg på!

b)
[tex]f:\mathbb{Z_{24}} \to D_6,\,\,\,f(1)=(1, 2)(3,6)(4,5)[/tex]

Ser du på elementene i den dihedrale gruppen som speilinger og rotasjoner av hjørnene i en heksagon (la oss for enkelhetens skyld si at hjørnene er sjetterøttene i det komplekse planet), så tilsvarer $f(1)$ en speiling om $x$-aksen. Hva blir da kjernen?
Eventuelt kan du se på hva $f(1)^2=(1,2)(3,6)(4,5)(1,2)(3,6)(4,5)$ blir direkte.

[sbra]

Prøver meg på d).

Rotasjonsgruppen i to dimensjoner er alle ortogonale matriser med determinant 1. Den kalles også SO(2), den spesielle ortogonale gruppen i to dimensjoner.
Ortogonale matriser er for øvrig matriser som multiplisert med sin egen transponerte gir identitetsmatrisen, [tex]A^TA = AA^T = I[/tex].

Vi kan skrive at [tex]Rot(\theta)= \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix}[/tex]

Kjernen til homomorfien h er de elementene i [tex]\mathbb{R}[/tex] som gir 0 graders rotasjon i Rot, dvs identitetsmatrisen.

Vi ser da at [tex]Ker(h) = 2{\pi}n[/tex], [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].

[Janhaa]

Kan noen forklare meg hvordan jeg finner kjernen til følgende gruppehomomorfier:
a)
[tex]\phi:\mathbb{Z} \to S_3,\,\,\,\phi(1)=(1, 2, 3)[/tex]

$\phi (2)=\phi(1+1)=\phi(1)\phi(1)=(1,2,3)(1,2,3)=(1,3,2)$
$\phi (3)=\phi(2+1)=\phi(2)\phi(1)=(1,3,2)(1,2,3)=(1)(2)(3)=id$
$\phi(4)=\phi(3)\phi(1)=\phi(1)=(1,2,3)$ etc.
$\phi(-1)=(1,2,3)^{-1}=(3,2,1)$,
og
$\phi(0)=\phi(1+(-1))=\phi(1)\phi(-1)=(1,2,3)(3,2,1)=(1)(2)(3)=id$
Induktivt ser vi da at $ker(\phi)=3\mathbb{Z}$.

takker, DVs at

[tex]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z_3}[/tex]
altså
[tex]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \text Im(\phi)[/tex]

[Janhaa]

Slenger meg på!

b)
[tex]f:\mathbb{Z_{24}} \to D_6,\,\,\,f(1)=(1, 2)(3,6)(4,5)[/tex]

Ser du på elementene i den dihedrale gruppen som speilinger og rotasjoner av hjørnene i en heksagon (la oss for enkelhetens skyld si at hjørnene er sjetterøttene i det komplekse planet), så tilsvarer $f(1)$ en speiling om $x$-aksen. Hva blir da kjernen?
Eventuelt kan du se på hva $f(1)^2=(1,2)(3,6)(4,5)(1,2)(3,6)(4,5)$ blir direkte.

takker, blir

[tex]\ker(f) = \mathbb{Z_6}[/tex]

?

[Janhaa]

Prøver meg på d).
Rotasjonsgruppen i to dimensjoner er alle ortogonale matriser med determinant 1. Den kalles også SO(2), den spesielle ortogonale gruppen i to dimensjoner.
Ortogonale matriser er for øvrig matriser som multiplisert med sin egen transponerte gir identitetsmatrisen, [tex]A^TA = AA^T = I[/tex].
Vi kan skrive at [tex]Rot(\theta)= \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix}[/tex]
Kjernen til homomorfien h er de elementene i [tex]\mathbb{R}[/tex] som gir 0 graders rotasjon i Rot, dvs identitetsmatrisen.
Vi ser da at [tex]Ker(h) = 2{\pi}n[/tex], [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].

takk

[Gustav]

c)
[tex]g:\mathbb{Z_{20}} \to \mathbb{Z_4} \times \mathbb{Z_5} ,\,\,\,g(1)=(2,4)[/tex]

Siden 2 har orden 2 i $Z_4$ og $4$ har orden $5$ i $Z_5$, og gcd(2,5)=1, så vil $(2,4)$ generere hele $Z_4\times Z_5$. Dermed må $g$ være bijektiv (siden $|Z_{20}|=|Z_4\times Z_5|$) , og da må $ker(g)=\{0\}$.

[Gustav]

Slenger meg på!

b)
[tex]f:\mathbb{Z_{24}} \to D_6,\,\,\,f(1)=(1, 2)(3,6)(4,5)[/tex]

Ser du på elementene i den dihedrale gruppen som speilinger og rotasjoner av hjørnene i en heksagon (la oss for enkelhetens skyld si at hjørnene er sjetterøttene i det komplekse planet), så tilsvarer $f(1)$ en speiling om $x$-aksen. Hva blir da kjernen?
Eventuelt kan du se på hva $f(1)^2=(1,2)(3,6)(4,5)(1,2)(3,6)(4,5)$ blir direkte.

takker, blir

[tex]\ker(f) = \mathbb{Z_6}[/tex]

?

ker(f) vil vel bli isomorf med $Z_{12}$. Det som skjer er jo at f(2)=f(4)=f(6)=...=f(22)=f(0)=(1)(2)(3)(4)(5)(6)