Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
La $P:V\to V$ være en lineær avbildning, hvor $V$ er et vektorrom. Anta at $P\circ P=P$. Vis at $V=\ker P \oplus \rm{im} \mathop P$.
Én måte å gjøre det på er jo å se at $P(v-P(v))=P(v)-P(P(v))=0\implies v-P(v)\in \ker P$ for hver $v\in V$; men går det an å vise det samme ved hjelp av dimensjoner? Man kan sjekke at $\rm{im}\mathop P\cap \ker P=0$. Holder det da å vise at
\[\dim V=\dim(\ker P\oplus \rm{im}\mathop P)=\dim(\rm{im}\mathop P)+\dim(\ker P)?\]
Dimensjonsteoremet gir oss den siste likheten, men jeg lurer på om det holder som bevis, spesielt i de tilfellene hvor $V$ ikke er endeligdimensjonalt.
stensrud wrote:Heisann, har et spørsmål angående denne oppgaven:
La $P:V\to V$ være en lineær avbildning, hvor $V$ er et vektorrom. Anta at $P\circ P=P$. Vis at $V=\ker P \oplus \rm{im} \mathop P$.
Én måte å gjøre det på er jo å se at $P(v-P(v))=P(v)-P(P(v))=0\implies v-P(v)\in \ker P$ for hver $v\in V$; men går det an å vise det samme ved hjelp av dimensjoner? Man kan sjekke at $\rm{im}\mathop P\cap \ker P=0$. Holder det da å vise at
\[\dim V=\dim(\ker P\oplus \rm{im}\mathop P)=\dim(\rm{im}\mathop P)+\dim(\ker P)?\]
Dimensjonsteoremet gir oss den siste likheten, men jeg lurer på om det holder som bevis, spesielt i de tilfellene hvor $V$ ikke er endeligdimensjonalt.
Har ikke tid til noe skikkelig svar nå , men man må jo vise at dimensjonen til direktesummen er lik summen av dimensjonene, noe som ikke er opplagt og heller ikke endel av rank-nullity teoremet. Ellers ser det jo riktig ut. I et uendeligdimensjonalt vektorrom vil det jo ikke være riktig, siden det fins uendeligdimensjonale underrom av slike.
Rakk omsider å se mer nøye på spørsmålet ditt. Mitt første svar var nok noe uklart, og tatt på sparket. Her er måten man kan gjøre det alternativt på:
Rank-nullity teoremet gir at $dim(im(P))+dim(ker(P))=dim(V)$.
Dimensjonsteoremet (for sum av vektorrom) gir at $dim(im(P)+ker(P))=dim(im(P))+dim(ker(P))-dim(im(P)\cap ker(P))$.
$im(P)\cap ker(P)=0$. (Bevis: La $v\in ker (P)\cap im(P)$. Da er $P(v)=0$, og det fins en $w$ slik at $P(w)=v$, men da er $0=P(0)=P(P(w)-v)=P(w)=v$.)
Så $dim(im(P)\cap ker(P))=0$ og $im(P)+ker(P)=im(P)\oplus ker(P)$, og det følger at
$dim(V)=dim(im(P)\oplus ker(P))$. Gitt at $dim(V)<\infty$, så må $V=im(P)\oplus ker(P)$.
For min del virker det som det ikke holder som bevis uten videre i tilfellet $dim(V)=\infty$, siden beviset hviler på den siste overgangen. Generelt vil jo uendeligdimensjonale vektorrom kunne ha uendeligdimensjonale underrom som ikke er lik seg selv.
