differensialligning

[Guest]

y'+y=1

Noen som kan ta denne for meg? har prøvd og prøvd men får ikkje til

[Solar Plexsus]

Den karakteristiske ligningen til den homogene differensiallikningen

(1) y' + y = 0

er r + 1 = 0, dvs. r = -1. Følgelig er y = C*e[sup]-x[/sup] der C er en vilkårlig konstant, løsningen av (1).
Den inhomogene differensiallikningen

(2) y' + y = 1

har partikulærløsningen y = 1. Dermed blir den generelle løsningen av (2)

y = C*e[sup]-x[/sup] + 1.

[Guest]

Det er ikke noen anna måte å vise utregningen på? Vi har nettopp begynt med diff likninger, og har lært å løse separable diff ligninger, men det var ikke på denne måten...

Du gjør sikkert alt i et, men vi måtte sette y'=dy/dx, samle x og y utrykkene på hver side, så løse integralet av de to..

Er det mulig å gjøre det på den måten?

[Solar Plexsus]

Du har rett i at dette er en separabel differensiallikning. Ved å erstatte y' med dy/dx får vi nemlig at

dy/dx + y = 1

dy/dx = 1 - y

dy/(1 - y) = dx

[itgl][/itgl] dy/(1 - y) = [itgl][/itgl]dx osv.

[Guest]

Muligens en litt mer intuitiv måte.

y'+1*y=1

Trikset er å gange med e[sup]F(y)[/sup], hvor F(y)=[itgl]1[/itgl]
Dvs. man ganger med e[sup]x[/sup].

Da får man
e[sup]x[/sup]*y'+e[sup]x[/sup]*y=e[sup]x[/sup]

Ser man nøye etter kan man ta en baklengs delvis derivasjon på venstre side.

(e[sup]x[/sup]*y)'=e[sup]x[/sup]

Men da kan man jo lett integrere begge sider og dele på e[sup]x[/sup].

e[sup]x[/sup]*y=e[sup]x[/sup]+C

Dette gir den generelle løsningen

y=1+C*e[sup]-x[/sup]

Har man inital betingelser kan man bestemme C-en.