Grenseverdi av følge

[hannaPower]

Hei, kunne noen være så snill å vise meg hvordan man går løs på en slik oppgave? Jeg skjønner ikke bære

Hva blir grenseverdien av følgen definert ved

an = √(n^2+9) - √(n^2-n+9)

[Janhaa]

Hei, kunne noen være så snill å vise meg hvordan man går løs på en slik oppgave? Jeg skjønner ikke bære
Hva blir grenseverdien av følgen definert ved
an = √(n^2+9) - √(n^2-n+9)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... 2B9)++to+0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... ++to+infty

?

[Nebuchadnezzar]

Grenseverdien mot hva? En må definere hva følgen skal gå mot. Jeg antar at du skal undersøke hvordan $a_n$ oppfører seg når $n$ vokser mot uendelig.

Det enkleste da er at du setter inn større og større $n$. Dette gir deg selv en trygghet om hva grenseverdien er, selv om det ikke holder som et bevis.

$ \hspace{1cm}
a_{100} = 0.501 \ , \qquad a_{10^6} = 0.49999...
$

Så det kan være rimelig å anta at grenseverdien går mot $1/2$. Det neste steget blir da å vise dette formelt.

a) En rask og slurvete løsning er følgende

For store $n$ så vil $n$ og $n^2$ vil dominere hva følgen går mot. Med andre ord er $9$'eren neglisjerbar

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} a_n
& = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + 9} - \sqrt{n^2 - n + 9} \\
& = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2} - \sqrt{n^2 - n} \\
& = \lim_{n \to \infty} n \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n}} \right) \\
& = \lim_{n \to \infty} n \left( 1 - \left[ 1- \frac{1}{2n} -\frac{1}{8 n^2} - \frac{1}{16*n^3} \cdots \right] \right) \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} -\frac{1}{8 n^2} - \frac{1}{16*n^3} \cdots \\
& = \frac{1}{2}
\end{align*}
$

Hvor en brukte rekkeutviklingen til $\sqrt{ 1 - x}$ dette er en av få taylorrekker en bør kunne / vite å slå opp.

Alternativt kan en og løse oppgaven med å gange med den konjugerte, men det kan jeg overlate til noen andre =)

[hannaPower]

Hei, tusen takk for hjelpen! Du hadde ikke orket å gå igjennom den alternative metoden ved den konjugerte også?

[Nebuchadnezzar]

Tja, noe må jo du og få lov til å gjøre

For enkelhetensskyld dropper jeg å skrive $ \lim_{n \to \infty}$ og fokuserer kun på algebraen.

$ \hspace{1cm}
\sqrt{n^2 + 9} - \sqrt{n^2 - n + 9}
=
\sqrt{n^2 + 9} - \sqrt{n^2 - n + 9} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 9} + \sqrt{n^2 - n + 9}}{\sqrt{n^2 + 9} + \sqrt{n^2 - n + 9}}
=
\frac{ (n^2 + 9) - (n^2 - n + 9) }{\sqrt{n^2 + 9} + \sqrt{n^2 - n + 9}}
$

Hvor en brukte tredje kvadratsetning / konjugatsetningen: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Stegene videre blir nå å forenkle teller og så dele nevner og teller på $n$. Hvis en da bruker at $\sqrt{ \text{noe} } / n = \sqrt{ \text{noe} / n^2 }$ (siden $n = \sqrt{n^2}$, når $n>0$) og $\lim_{n \to \infty} \, 1/n = 0$ kommer en i mål =)