Find the Möbius transformation $g$ with the property $g(-i)=-i,$ $g(i)=i$ and $g(1)=\infty$
Ett dytt å få her?
Takk =)
Möbius transformasjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
$g(z)=\frac{az+b}{cz+d}$.Kjemikern wrote:Find the Möbius transformation $g$ with the property $g(-i)=-i,$ $g(i)=i$ and $g(1)=\infty$
$g(1)=\frac{a+b}{c+d}=\infty$ gir at $d=-c$.
$g(i)=\frac{ai+b}{c(i-1)}=i\Rightarrow c(-1-i)=ai+b$, så $a=b=-c$, så
$g(z)=\frac{az+a}{-az+a}=\frac{z+1}{-z+1}$
Merk at i det utvidede komplekse plan (Riemannsfæren), så skiller man ikke mellom $\pm\infty$, men regner alle uendeligheter som $\infty$. Dermed gir det mening å si at $g(1)=\infty$, selv om grensen ikke eksisterer i $\mathbb{R}$.
Takker og bukker!plutarco wrote:
Merk at i det utvidede komplekse plan (Riemannsfæren), så skiller man ikke mellom $\pm\infty$, men regner alle uendeligheter som $\infty$. Dermed gir det mening å si at $g(1)=\infty$, selv om grensen ikke eksisterer i $\mathbb{R}$.