Matte R1: Polynomdivisjoner - Hjelp!

[Aleksanderer]

(Oppgave 1.208)

Vi har gitt polynomet:
[tex]P(x)=x^4-4x^2+3[/tex]

a) vis at [tex]P(x)[/tex] er delelig med [tex]x^2-1[/tex]
b) Finn alle nullpunktene til [tex]P(x)[/tex]

[tex]c)[/tex] Bestem a slik at resten i divisjonen [tex]P(x) : (x-a)[/tex] blir 3

Hei! Jeg trenger hjelp med oppgave [tex]c)[/tex]
Vet ikke hvordan jeg skal finne ut av hva [tex]a[/tex] skal være, for at man skal få 3 som rest.

[Fysikkmann97]

Om P(a) = 3, så er P(x) : (x - a) = 3

[Aleksanderer]

Om P(a) = 3, så er P(x) : (x - a) = 3

Tenkte det samme, men slet litt med utregninga.. Fikk ihvertfall feil svar i følge fasit.

Fasiten viser: a = 0 eller a = -2 eller a = 2

[DennisChristensen]

Som påpekt har vi at $P(x) : (x - a)$ gir $3$ i rest $ \iff P(a) = 3$. Vi må altså finne verdiene $a$ slik at $P(a) = 3$:

$\begin{align*} P(a) & = 3 \\ a^4 - 4a^2 + 3 & = 3 \\ a^4 - 4a^2 & = 0 \\ a^2\left(a^2 - 4\right) & = 0 \\ a^2\left(a-2\right)\left(a+2\right) & = 0 \\ a &= 0, a = -2 \text{ eller } a = 2.\end{align*}$

Eventuelt kan du løse oppgaven direkte ved å utføre polynomdivisjonen. Hvis du ser det vedlagte bildet, ser du at resten fra divisjonen blir $3 + a^2\left(a^2 - 4\right)$, som er lik $3$ når $a=0, a= -2$ eller $a = 2$.

[Aleksanderer]

Som påpekt har vi at $P(x) : (x - a)$ gir $3$ i rest $ \iff P(a) = 3$. Vi må altså finne verdiene $a$ slik at $P(a) = 3$:

$\begin{align*} P(a) & = 3 \\ a^4 - 4a^2 + 3 & = 3 \\ a^4 - 4a^2 & = 0 \\ a^2\left(a^2 - 4\right) & = 0 \\ a^2\left(a-2\right)\left(a+2\right) & = 0 \\ a &= 0, a = -2 \text{ eller } a = 2.\end{align*}$

Eventuelt kan du løse oppgaven direkte ved å utføre polynomdivisjonen. Hvis du ser det vedlagte bildet, ser du at resten fra divisjonen blir $3 + a^2\left(a^2 - 4\right)$, som er lik $3$ når $a=0, a= -2$ eller $a = 2$.

Tusen Takk! Ser den nå, skjønner ikke hvorfor jeg tenkte så vanskelig