Difflikning med substitusjon

[Stressetstudent]

Har fått denne oppgaven her, og aner ikke hvordan jeg skal gå løs på den. Kan noen hjelpe? Tenker at b er grei så lenge jeg har funnet svaret på a.

La T(t) være temperaturen til et legeme ved tiden t, og la A være den konstante temperaturen til omgivelsene. Newtons avkjølingslov sier:
(∗) T′(t) = k(T(t) − A),
der k er en konstant. La T0 være temperaturen til legemet ved tiden t = 0.
(a) Omskriv differensialligningen (∗) ved hjelp av substitusjonen u(t) = T (t) − A og bruk dette til ̊a finne T(t) uttrykt ved T0, A og k.
(b) Du kommer hjem til studentkollektivet og finner en av dine samboere myrdet p ̊a gulvet. Du merker at termostaten i rommet er satt p ̊a 22◦C. Mens du venter p ̊a politiets ankomst, tar du frem C.S.I.-begynnersettet du fikk til jul og m ̊aler kroppstemperaturene 25,5◦C kl 22:11 og 24,2◦C kl 23:11 p ̊a den døde kroppen. N ̊ar ble din samboer drept, dersom vi regner med at hans vanlige kroppstemperatur er 37◦C ?

[Janhaa]

Trur dette skal stemme:

[tex]u(t)=T(t)-A[/tex]
DVs
[tex]u ' (t) = T ' (t)[/tex]
altså:
[tex]u ' (t) = k\cdot u(t)[/tex]
.
.
.
[tex]\int \frac{du}{u}=k \int dt[/tex]

[tex]\ln(u)=k\cdot t + d[/tex]

[tex]u(t)=c\cdot e^{k\cdot t}[/tex]
DVs
[tex]T(t)=A + T_o\cdot e^{kt}[/tex]

[Student2016]

hvordan finner jeg k?

[Fysikkmann97]

Du har at temperaturen i rommet er 22 grader. Det er den verdien T(t) skal gå mot når t blir veldig stor. Altså må A = 22, siden eksponentialfunksjonen er avtagende. Nå vil du finne $T_0$. Vi sier at T(0) = 25,5 og T(1) = 24,2. Du vet at $T_0e^{noe * 0} = T_0$, altså må $T(0) = 22 + T_0 = 25,5 \Rightarrow T_0 = 2,5$

Nå mangler vi bare k. Den kan vi finne ved å løse $T(1) = 24,2 = 22 + 2,5e^{k*1} \Rightarrow k = ln(0,88) = −0,1278333715$

Da har vi funnet at $T(t) = 22 + 2,5e^{−0,1278333715t}$
Videre får vi opplyst at kroppstemperaturen antakelig var 37 grader. Da kan vi finne ut når vedkommende ble drept ved å løse
$T(t) = 37 \\
37 = 22 + 2,5e^{−0,1278333715t} \\
15 = 2,5e^{−0,1278333715t} \\
6 = e^{−0,1278333715t} \\
ln(6) = −0,1278333715t \\
t = −14,016367152$

Vedkommende ble drept for 14 timer siden, ca. 8:10.

[Stressetstuden]

Det kan vel ikke stemme? Siden kroppstemperaturen har sunket med 1,3 grader siste timen og den vil synke mindre og mindre kan ikke det være mer enn (37-24,2)/1.3 timer siden? Så et sted under ti timer må det være?

[Stressetstudent]

Du hadde bare brukt 2,5 istedenfor 3,5. Fikk at det var 3,136 timer siden. Høres ikke det mer riktig ut?

[Fysikkmann97]

Beklager, har en liten regnefeil i utregningen, skal fikse det opp.

EDIT:

Ja, det kan stemme. Du må nok finne en ny verdi for k om du ikke har gjort det.

Ny k = −0,4643056081

$T(t) = 22 + 3,5*e^{−0,4643056081t} \\
37 = 22 + 3,5*e^{−0,4643056081t} \\
15 = 3,5*e^{−0,4643056081t} \\
ln 4,2857142857 = −0,4643056081t \\
t = −3,1343305082$