Andrederivert, krumning oppover samt avgensning

[Neon]

Hei,

I forbindelse med en større oppgave, der man har fått gitt funksjonene g(x)= 48/sqrt(x) og en tangent til g i punktet (4,g(4)) gitt ved y=-3x+36
i løsningsforslaget blir det forklart at siden den andrederiverte til g er positiv for x>0, som altså betyr at den krummer oppover, så vil grafen til g ligge over grafen til y for alle x>0. Får ikke dette til å henge sammen i det hele tatt. Tangenten y kan vel ha større funksjonsverdier enn g selvom g krummer oppover? Forstår ikke resonnementet som er brukt her.

I oppgaven står det også følgende: Regn ut arealet av området som er avgrenset av grafen til g, tangenten (4,g(4)) og linja x=1. Hvordan skal man vite hvilket område det egentlig er snakk om? Et område som er avgrenset av g og og tangenten kan vel være ganske mye forskjellig slik jeg ser det.

På forhånd takk for hjelp.

[Fysikkmann97]

Tangenten sin andrederivert = 0 siden (-3x + 36)'' = -3' = 0. Mao. er den deriverte til tangenten alltid -3. LF har brukt at g'' > 0 for x > 0, som da vil si at grafen er konveks, og vil ha et minimunspunkt for x > 0 siden g'(4) = - 3 og g''(x) > 0 for x > 0. g(x) og tangenten (y) er i samme punkt for x = 4. Om y'(4) > g'(4), vil tangenten sin graf befinne seg over g sin graf. I oppgaven har du at g''(x) > 0 for alle x > 0, og derfor må g'(x + 1) > g'(x), som gir at g'(5) må være større enn -3, og grafen til g vil derfor befinne seg over grafen til tangenten for alle x > 4. For å bevise at det også gjelder for 0 < x < 4 kan man også se på den andrederiverte. For 0 < x < 4 må g'(x) < -3, ergo "faller" grafen raskere enn y, og må derfor også befinne seg over den for 0 < x < 4.


Når det gjelder integralet vil jeg tro det vil si at du har formen på integralet som er $I =\int^a_b g(x) - (-3x + 36)dx$. x = 1 er en vertikal linje, så du kan sette a = 1, og b = 4, da det er skjæringspunktet mellom g og f. Da har du alt som trengs for å beregne det.

[Neon]

Tangenten sin andrederivert = 0 siden (-3x + 36)'' = -3' = 0. Mao. er den deriverte til tangenten alltid -3. LF har brukt at g'' > 0 for x > 0, som da vil si at grafen er konveks, og vil ha et minimunspunkt for x > 0 siden g'(4) = - 3 og g''(x) > 0 for x > 0. g(x) og tangenten (y) er i samme punkt for x = 4. Om y'(4) > g'(4), vil tangenten sin graf befinne seg over g sin graf. I oppgaven har du at g''(x) > 0 for alle x > 0, og derfor må g'(x + 1) > g'(x), som gir at g'(5) må være større enn -3, og grafen til g vil derfor befinne seg over grafen til tangenten for alle x > 4. For å bevise at det også gjelder for 0 < x < 4 kan man også se på den andrederiverte. For 0 < x < 4 må g'(x) < -3, ergo "faller" grafen raskere enn y, og må derfor også befinne seg over den for 0 < x < 4.


Når det gjelder integralet vil jeg tro det vil si at du har formen på integralet som er $I =\int^a_b g(x) - (-3x + 36)dx$. x = 1 er en vertikal linje, så du kan sette a = 1, og b = 4, da det er skjæringspunktet mellom g og f. Da har du alt som trengs for å beregne det.

g'(5) må være større enn -3, og grafen til g vil derfor befinne seg over grafen til tangenten for alle x > 4.

Forstår ikke helt dette. Hvorfor må det at g har større stigningstall enn y for x>4 bety at den har større funksjonverdier for x<4?

Forstår heller ikke helt det med at g er over y fordi den faller raksere. Er det ikke mer logisk at hvis g stiger raskere så vil den være høyere enn y? Får du illustrert det på en eller annen måte?