Dobbelintegral

[Guest]

[tex]\int_0^2 \int_0^{x^2} (x+y) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}x[/tex]

Usikker på hvordan man tegner integrasjonsområdet: Blir det basert på y=x?

[Gustav]

[tex]\int_0^2 \int_0^{x^2} (x+y) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}x[/tex]

Usikker på hvordan man tegner integrasjonsområdet: Blir det basert på y=x?

Tegn først grafen til $f(x)=x^2$. Integrasjonsområdet er det området som er begrenset av x- og y-aksen, grafen til f(x), samt den vertikale linjen x=2.

[Guest]

[tex]\int_0^2 \int_0^{x^2} (x+y) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}x[/tex]

Usikker på hvordan man tegner integrasjonsområdet: Blir det basert på y=x?

Tegn først grafen til $f(x)=x^2$. Integrasjonsområdet er det området som er begrenset av x- og y-aksen, grafen til f(x), samt den vertikale linjen x=2.

Ok, det ga mening.
men hva forteller egentlig integrasjonsområdet? Er det arealet til f(x,y) ved at vi legger sammen alle bitene til dx, som vi deler linjestykket opp i. Samt at arealet ligger i xy-planet?

[Gustav]

Ok, det ga mening.
men hva forteller egentlig integrasjonsområdet? Er det arealet til f(x,y) ved at vi legger sammen alle bitene til dx, som vi deler linjestykket opp i. Samt at arealet ligger i xy-planet?

Integralet er volumet (der den delen av volumet under xy-planet regnes som negativt) mellom grafen til funksjonen $f(x,y)=x+y$ og xy-planet, der vi har begrenset domenet til f(x,y) til integrasjonsområdet. Integrasjonsområdet har egentlig ingenting å gjøre med integranden $x+y$, men er definert av integrasjonsgrensene i $\int_0^2 \int_0^{x^2}$. Du kan forsåvidt se på integrasjonsområdet som en delmengde U av xy-planet. Hvis $\chi_U$ er indikatorfunksjonen på U, dvs. $\chi_U(x,y)=1$ hvis $(x,y)\in U$ og $0$ ellers, så kan vi skrive $\int_0^2\int_0^{x^2}x+y\,dydx=\iint_{\mathbb{R}^2}\chi_U(x+y)\,dydx$

Edit: