Trenger hjelp til utregning av et kuleintegral. = )

[Johan Nes]

Hei alle,

Lenge siden sist. Med god lærebok og gode løsningsforslag har jeg ikke hatt så mye behov for hjelp i år.

Men nå sitter jeg fast på et kuleintegral. Greier ikke helt følge hva som blir gjort her. Vennligst se vedlagt bilde med både oppgave og løsning. Det er altså oppgave b) jeg ikke helt forstår meg på.

Skjønner grensene og første utregning av integralet, men så faller jeg av. Får andre verdier enn løsningsforslaget når jeg gjør det på "min måte".

På forhånd takk for hjelpen!

O.png (493.03 KiB) Viewed 2309 times

[Ijc]

[tex]72*\int \int {\sin \Phi /cos^3 \Phi} d\phi*d\theta = 144\pi \int_{0}^{\pi/4}sin \phi /cos^3\phi *d\phi =144\pi \int_{0}^{\pi/4} -1/u^3 du =144 \pi [\frac{1}{2u^2}] = 144\pi *[ \frac{1}{2cos^2\phi}][/tex]


Med u = cos \phi --> du/d\phi = - sin \phi

Håper dette er oppklarende.

[Ijc]

[tex]72*\int \int {\sin \Phi /cos^3 \Phi} d\phi*d\theta = 144\pi \int_{0}^{\pi/4}sin \phi /cos^3\phi *d\phi =144\pi \int_{0}^{\pi/4} -1/u^3 du =144 \pi [\frac{1}{2u^2}] = 144\pi *[ \frac{1}{2cos^2\phi}][/tex]

Jeg har startet med resultatet av integrasjonen av ro som jeg mener er 72( 6^3/3).

Deretter u = [tex][tex][/tex]cos \phi[tex][tex][/tex] --> [tex][tex][/tex]du/d\phi = - sin \phi[tex][tex][/tex]

På de siste hakeparantesene [ ...] skal grensene selvfølgelig være [tex]\phi = 0 \ , \phi=\pi/4[/tex]
Ved utregning av siste likhetstegn får jeg 72pi.

Håper dette er oppklarende.

[Johan Nes]

Jo, tusen takk!

Er med på notene nå.

Er det noen lett måte å se at man burde gjøre denne substitusjonen? Jeg antar at dette kanskje er en treningssak? Sliter med å se slike overganger. Ser så lett ut i ettertid. Sant å si er det minimalt vi har av substitusjon i dette emnet, så det er mulig det er derfor (ute av trening). Som regel er det enkel polynomintegrasjon.

[Ijc]

Jo, tusen takk!

Er med på notene nå.

Er det noen lett måte å se at man burde gjøre denne substitusjonen? Jeg antar at dette kanskje er en treningssak? Sliter med å se slike overganger. Ser så lett ut i ettertid. Sant å si er det minimalt vi har av substitusjon i dette emnet, så det er mulig det er derfor (ute av trening). Som regel er det enkel polynomintegrasjon.

Det er nok ikke noen generell fremgangsmåte, men som regel ønsker man å unngå delvis integrasjon. Dette uttrykket kan f.eks integreres ved å gjøre om til tan x / cos ^2 x, som kan løses ved delvis integrasjon.
For å unngå delvis integrasjon her må man enten få strøket bort sin eller cos leddet og det er ofte det slike oppgaver går ut på å gjøre.

I dette tilfellet ser jeg 3 alternativer:
u = sin phi ---> du/dphi = cos phi --> dphi =du / cos phi
Da ville du fått -u / cos^4 phi , noe som ikke gjør uttrykket enklere å integrere

med u = cos^3 phi --> du/dphi = 3cos ^2 phi * sin phi --> dphi = du / [ (3cos^2 phi) * sin phi ]
Da vil du få noe sånt som -1 / [3 * u^(5/3)] , der u ^(5/3) kommer av å sette u = cos ^3 phi og opphøye i 5/3 på begge sider.
Dette gir et litt vanskeligere integral, men som skal gi samme svar.

med u = cos phi så får du det enkleste uttrykket.

[Johan Nes]

Jo, det var jo forbausende enkelt å regne ut når jeg først skjønte hva som var gjort. Sliter bare med å se slike substitusjoner selv.